初中数学拔尖材料10美丽的完全平方数

初中数学拔尖材料10美丽的完全平方数本讲主要介绍完全平方数的概念和一些常用的基本性质，同时介绍与完全平方数有关的问题的具体分析，如：余数分析、尾数分析、位数分析、进位分析、不等分析、因数分析等等．对于一般人来说，完全平方数可以由神奇的“正方形数”来体会数学美；对于数学高手来说，一定要牢记完全平方数的概念、性质和分析问题的方法，因为它是各类试题中的宠儿！基本知识定义：a是整数，2a称为平方数．．．，也叫完全平方．．．．数．．因20a，故常看作：0,1,2,a．性质1：平方数的个位是0，1，4，5，6，9之一．性质2：偶平方数一定能被4整除．性质3：奇平方数被8除余1，即它可写成81k的形式，其中k为整数．性质4：在相邻的两个正整数的平方数之间不存在其它的平方数，即若22(1)nkn，则k不是完全平方数．性质5：两位或两位以上的平方数，它的后两位是00、25、01、21、41、61、81、04、24、44、64、84、09、29、49、69、89、16、36、56、76、96之一．（共22个）性质6：设x为整数，对于下列模数，关于完全平方数有以下结论：201(mod3)x或，201(mod4)x或，2014(mod5)x或或，2014(mod8)x或或．性质7：任何两个相邻正整数之积不是完全平方数．性质8：两个奇数的平方之和不是完全平方数．以上内容，必须熟记．注意下面的例题的分析，学会使用这些性质，做个超级学霸．典型例题例1．试证明平方数被8除所得的余数只能是0，1，4．例2．求最小正整数n，使2n后三位数字相同且不是0．例3．求正整数n，使45n和44n都是完全平方数．例4．一个十位数，这十个数字中有9个5，1个6，问：这样的十位数中是否有平方数？如果有，找出所有这样的平方数；如果没有，理由是什么？例5．试证明任意五个连续正整数的平方之和不是平方数．例6．设ab、都是正整数，问：（1）22ab与22ba是否都能是．．．平方数？（2）22ab与22ba对任何ab、是否都能不是．．．．平方数？例7．试证明：不存在正整数abc、、，使得22210(mod8)abc．例8．若a是个大于9的奇数，它的各位数字也都是奇数，问：a是否可能是平方数？说明理由．例9．将奇数1，3，5，7，…由小到大按第n组有21n个奇数进行分组，第一组为一个数{1}，第二组为三个数{3，5，7}，第三组为五个数{9，11，13，15，17}，…，第n组有21n个奇数，试问2013是第几组中的数？例10．求21，22，23，…2123456789的和的个位数字．例11．设na是2222123n的个位数字（1,2,3,n），试证：1230.naaaa是有理数．例12．一个四位数，其一、三位数字相同，第二、四位数字相同，求证此数不能是完全平方数．欣赏几组美丽的完全平方数第一组美丽的完全平方数：1089（33）和9801（99）．注意：这两个完全平方数的数字顺序是相反的．第二组美丽的完全平方数：1444（38）．注意：末三位相同的完全平方数的末三位数只能是000或444．第三组美丽的完全平方数：3721（61）和4624（68）．注意：“三七二十一”，“四六二十四”是我们平时用的乘法口诀．第四组美丽的完全平方数：4624（68）和3969（63）．注意：第一个是四位数字都是非0偶数，第二个是各个数字都是3的倍数．第五组美丽的完全平方数：6084（78）注意：四位完全平方数中唯一的一个数，其各位数字都是偶数．第五组美丽的完全平方数：7744（88）注意：从数字的形式上看，是不是比较特别啊！巩固练习1．设n为正整数，求证：125n型的整数中没有完全平方数．2．试证：三个连续正整数的平方和不是平方数．3．有一个一百位的正整数，其中有99个5，另一个数字不是5，问：这样的整数能否是完全平方数？4．设四位数abca，满足2(51)abcac，求abca．