初中数学竞赛教程22整数的整除性和奇偶性

2013年暑期初一数学竞赛第二十二讲：整数的整除性和奇偶性【例题精选】例1、如果,,abc是正整数，a和b是奇数，那么23()abcc（）A、对于c的所有选择都是奇数；B、对于c的所有选择都是偶数；C、当c是偶数时为奇数，c为奇数时为偶数；D、当c是奇数时为奇数，c为偶数时为偶数；1、设a、b、c都是整数，且abc是偶数，试说明abc、bca、cab都是偶数。2、若,,abc中有两个是奇数，一个是偶数，判断222(2001)(2002)(2003)abc是奇数还是偶数？3、设1a，2a，…，2011a是1到2011的整数打乱顺序后，任意一种顺序的排列，请判断122011(1)(2)...(2011)aaa是奇数还是偶数，并说明理由。4、甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌（A作1，J、Q、K分别作11、12、13），乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否确定？例2、黑板上写上1，2，3，…，1998，按下列规定进行操作：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？1、黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个数，对它们进行如下操作：擦去其中三个数，再将这三个数和的个位数字补写在黑板上，例如擦去5，13，1998后添6，再如擦去6，6，38后添0，等等。如果经过998次操作后，黑板上只剩下两个数，一个是25，则另一个数是什么？2、在1，2，3，…，1989之间填上“+”或“—”，求和时可以得到最小的非负数是多少？例3、设有m只茶杯，开始时杯口都朝上，把茶杯随意翻转，规定每翻转n只，称为一次翻动，翻动过的茶杯允许再翻。当m为奇数，n为偶数时，是否存在某此翻动使杯口都朝下？1、若有7个杯子杯口朝下摆在桌子上，每次翻转4个杯子（口朝下的翻为口朝上，口朝上的翻为口朝下）。经过若干次这样的翻动，问：可不可能全部杯子口都朝上？2、若有6个杯子杯口朝下摆在桌子上，每次翻转4个杯子（口朝下的翻为口朝上，口朝上的翻为口朝下）。经过若干次这样的翻动，问：可不可能全部杯子口都朝上？例4、2003年3月23日是星期日，那么2003年元旦是（）A、星期二B、星期三C、星期四D、星期五1、今天是星期日，从今天算起，第20001111...1个天是星期（）A、一B、二C、三D、四2、设2222123...2011m，今天是星期一，若算第一天，则第m天是星期几？例5、已知两个三位数abc与def的和abcdef能被37整除，试证明：六位数abcdef也能被37整除。1、已知7位数12876xy是72的倍数，求出所有符合条件的7位数。2、五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，则abcde的最小值是多少？3、设p(5p)是质数，并且21p也是质数．求证：41p是合数．例6、如果2100n能被10n整除，那么满足条件的最大正整数n的值为。1、如果p、q、qp12、pq12都是整数，且1p，1q，求qp的值。【巩固拓展】1、已知n是整数，现有两个代数式：（1）23n；（2）41n，其中能表示“任意整数”的是（）A、只有（1）B、只有（2）C、有（1）和（2）D、一个也没有2、在2010个自然数：1，2，3，…，2010的每一个数前面任意添上“+”或“-”，则它们的代数和一定是（）A、奇数B、偶数C、负整数D、非负整数3、如果,,abc是三个任意整数，则2ab、2bc，2ca（）A、都不是整数B、至少有两个整数C、至少有一个整数D、都是整数4、已知,,abc都是整数，||||||mabbcac，则（）A、m一定是奇数B、m一定是偶数C、仅当,,abc同奇或同偶时，m是偶数D、m的奇偶性不能确定5、一个三位自然数，当它分别被2、3、4、5、7除时，余数都是1，则具有这个性质的最小三位数是，最大三位数是。6、有一列数为1，2，5，13，34，…，从第2个数起，每个数的3倍正好等于它左右两边的两个数的和，那么第2011个数是数（填“奇”或“偶”）7、用写有数字的4张卡片1、2、3、4可以排出不同的四位数，其中能被22整除的四位数有。8、已知整数13456ab能被198整除，则a，b。9、求证:奇数的平方被8除余1；请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.10、设有两个自然数,ab的和为135，试说明它们的平方和不能等于222。11、六位数8193ab是99的倍数，求整数a、b的值。12、黑板上写着三个整数，任意擦去其中一个，将它改写成为其他两数的和减去1，这样继续下去，最后得到117，2001，2003。问原来的三个数能否是2，2，2？