北京交通大学2013-2014学年第二学期《概率论与数理统计》期末考试试卷(A卷)及参考答案详解

第1页共8页北京交通大学2013~2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）一．（本题满分8分）某中学学生期末考试中数学不及格的为%11，语文不及格的为%7，两门课程都不及格的为%2．⑴已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）．解：设A“某学生数学考试不及格”，B“某学生语文考试不及格”．由题设，11.0AP，07.0BP，02.0ABP．⑴所求概率为11211.002.0APABPABP．⑵所求概率为7507.002.007.0BPABPBPBPBAPBAP．二．（本题满分8分）两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率．解：设A“任取一个零件是不合格品”，B“任取一个零件是第一台车床加工的”．所求概率为ABP．由Bayes公式得BAPBPBAPBPBAPBPABP11503.03205.03105.031．三．（本题满分8分）第2页共8页设随机变量X的密度函数为其它002cosxxCxf．⑴求常数C（3分）；⑵现对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于3的次数，求2YE（5分）．解：⑴由密度函数的性质，1dxxf，得CxCdxxCdxxf22sin22cos100，因此，21C．⑵由于212112sin2cos213333xdxxdxxfXP．所以，随机变量Y的分布列为kkCkYP214，4,3,2,1,0k．所以4022kkYPkYE51614164316621641161022222．四．（本题满分8分）在正方形1,1,qpqpD：中任取一点qp,，求使得方程02qpxx有两个实根的概率．解：设A“方程02qpxx有两个实根”，所求概率为AP．设所取的两个数分别为p与q，则有11p，11q．因此该试验的样本空间与二维平面点集11,11,qpqpD：第3页共8页中的点一一对应．随机事件A与二维平面点集04,2qpqpDA：，即与点集qpqpDA4,2：中的点一一对应．所以，241312412214113112ppdppDDAPA的面积的面积．五．（本题满分8分）一个工厂生产某种产品的寿命X（单位：年）的密度函数为000414xxexfx．该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望．解：设Y为工厂售出一个产品的净赢利，则13001100XXY所以，300300100100YPYPEY13001100XPXP104144130041100dxedxexx5203.1113001004141ee六．（本题满分9分）设G是由X轴、Y轴及直线022yx所围成的三角形区域，二维随机变量YX,在G内服从均匀分布．求X与Y的相关系数YX,．解：第4页共8页由于区域G的面积为1，因此YX,的联合密度函数为GyxGyxyxf,0,1,．当10x时，xdydyyxfxfxX12,220，所以，其它01012xxxfX．当20y时，21,210ydydxyxfyfyY，所以，其它02021yyyfY．31312121210dxxxdxxxfXEX，322120dyyydyyyfYEY，61413121210222dxxxdxxfxXEX，322120222dyyydyyfyYEY，所以，1813161var222XEXEX，923232var222YEYEY，102202220102,dxyxxydydxdxdyyxxyfXYExx，61213241222121023102dxxxxdxxx，所以，181323161,covYEXEXYEYX．第5页共8页2192181181varvar,cov,YXYXYX．七．（本题满分9分）某餐厅每天接待400位顾客，假设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间100,20上的均匀分布，并且每位顾客的消费额是相互独立的．试求：⑴该餐厅每天的平均营业额（3分）；⑵用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在其平均营业额的760元之间的概率（6分）．（附：标准正态分布的分布函数x的某些取值：x55.160.165.170.1x9394.09452.09505.09554.0解：⑴设iX表示第i位顾客的消费额，400,,2,1i．则有40021,,,XXX相互独立，100,20~UXi，400,,2,1i．所以，60iXE，316001280var2iX．再设X表示餐厅每天的营业额，则4001iiXX．所以，240006040040014001iiiiXEXEXE（元）．⑵由独立同分布场合下的中心极限定理，有3160040076031600400240003160040076076024000760XPXP901.019505.021645.123160040076031600400760．八．（本题满分8分）第6页共8页设总体X服从参数为p的几何分布，其分布律为1kpqkXP,3,2,1k．其中10p是未知参数，pq1．nXXX,,,21是取自该总体中的一个样本．试求参数p的极大似然估计量．解：似然函数为nnnnxXPxXPxXPxXxXxXPpL22112211,,,nxnxxxnkknpppppppp1211111111所以，pnxpnpLnkk1lnlnln1．所以，01ln1pnxpnpLdpdnkk，解方程，得xp1．因此p的极大似然估计量为1ˆp．九．（本题满分8分）设总体X存在二阶矩，记XE，2varX，nXXX,,,21是从该总体中抽取的一个样本，X是其样本均值．求XE（4分）及XD（4分）．解：nnnXEnXnEXEniniinii1111111，nnnnXnXnXniniinii22212212111var11varvar．十．（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X和Y，假设X与Y相互独立，都服从参数为5的指数分布，其密度函数为00055xxexfxX．现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T的概率密度函数．解：第7页共8页X的密度函数为00055xxexfxX，Y的密度函数为00055yyeyfyY由题意，知YXT，设T的密度函数为tfT，则055dxxtfedxxtfxftfYxYXT作变换xtu，则dxdu，当0x时，tu；当x时，u．代入上式，得tYuttYutTduufeeduufetf55555当0t时，由0yfY，知0tfT；当0t时，ttuutTtedueeetf55552555综上所述，可知随机变量T的密度函数为000255tttetftT．十一．（本题满分9分）设总体X服从指数分布，其概率密度函数为0001xxexfx，nXXX,,,21是取自该总体中的一个样本．⑴求出统计量iniXX11min的密度函数xf1，并指出该分布是什么分布？⑵求常数a，使得iniXaT1min为的无偏估计．解：①由于总体X的密度函数为0001xxexfx，因此其分布函数为0100xexdttfxFxx．第8页共8页所以iniXX11min的密度函数为nxxnxneneenxfxFnxf11111，0x．即随机变量iniXX11min服从参数为n的指数分布．②由于随机变量iniXX11min服从参数为n的指数分布，所以nXEXEini11min．所以，若使naXaEXEini11min，只需取na即可．即若取na，即iniXnT1min，则T是未知参数的无偏估计量．十二．（本题满分8分）设随机变量X与Y相互独立，而且都服从正态分布2,N．令aYXU，bYXV（a与b都是常数），试给出随机变量U与V相互独立的充分必要条件．解：由于随机变量X与Y相互独立，而且都服从正态分布，又aYXU，bYXV，所以U与V也都是服从正态分布的随机变量．所以，U与V相互独立的充分必要条件是0,covVU．而bYXaYXVU,cov,covYYabXYaYXbXX,cov,cov,cov,cov21abYabDXD．因此，随机变量U与V相互独立的充分必要条件是01ab．