共轭梯度实验报告

共轭梯度法求解线性方程组一.共轭梯度法共轭梯度法是求解正定系数矩阵线性方程组()1AxbA为对称正定矩阵的一种迭代方法，该方法的好处是可以用于求解病态问题，大大减少了计算误差。求解方程组（1）的本质是求二次函数12()2TTxxAxbx的极小值点。由于极值的必要条件，在极小点*x处，函数()x的梯度满足()03xAxb即极小点*x是方程（1）的解，因此线性方程组的解转化为一个求极值问题。二.共轭的几何意义从本质上来讲，共轭的方向就是某种意义下的正交方向。当A为单位阵时，共轭就是通常意义下的正交。为了便于理解，考虑二维（2n）情况，函数123TTxxbx的等值线为一族同心圆，而式（2）表示的函数()x的等值线是一族同心椭圆。从直观上来讲，圆的切线与切点到圆心的连线正交，那么，椭圆的切线与切点到椭圆中心的连线是共轭。图1给出了共轭的几何意义。（a）正交方向（b）共轭方向图1正交与共轭的几何意义从图1可以看出，如果能找到两个共轭方向，那么沿一个方向前进，找到极小点后，再沿另一个方向继续前进，找到极小点，这个极小点就是椭圆的重心，即二次函数的极小点。对于n维问题，只要能找到n个相互共轭的非零方向，从某一点出发，沿每个方向前进，找到一维极小点，然后再从这个点出发，沿第2个方向前进找极小点，当n个方向都完成这一动作后，就能够得到n维二次函数的极小点。三.共轭梯度算法程序流程1.输入数据,Ab，置(0)(0)rbAx，(0)(0)dr，精度要求和0k；2.计算()()(1)()()(1)()()()()(),,;()kTkkkkkkkkkkkTkrrxxdrrAddAd3.若(1)()1,kkxxkn或则停止计算（(1)kx作为方程组的解）；否则，计算(1)(1)(1)(1)()11()()(),;()kTkkkkkkkTkrrdrdrr4.置1kk，转第2步。四.共轭梯度算法的调用及应用1.程序内容function[x,k]=cgg(A,b,ep)b=b';ifnargin3,ep=1e-5;endn=length(A);x=zeros(n,1);r=b;d=r;k=0;whileknalpha=(r'*r)/(d'*A*d);r1=r;s=alpha*d;x=x+s;r=r-A*s;ifnorm(s)epbreak;endbeta=(r'*r)/(r1'*r1);d=r+beta*d;k=k+1;end其中输入项：A为待求解方程组的系数矩阵，b为方程左端常数项，ep为计算精度，输出项：x为方程组的解，k为迭代次数。直接在matlab命令框里输入命令[x,k]=cgg(A,b,ep)即可。2.实际应用用共轭梯度法求如下解线性方程组，Axb，其中2111210,1210121Ab其中A的阶数n分别取100,200,400，指出计算结果是否可靠。解：在matlab里产生相关系数矩阵，将精度设置为1e-9,调用共轭算法得出100阶，200阶，400阶的方程组解和对应的迭代次数为100200400(1,1,,1,1),50(1,1,,1,1),100(1,1,,1,1),200TTTxkxkxk由计算结果可知计算结果是可靠的，用共轭梯度算法求解时，随着方程组的阶数增大，方程组的解是稳定的，而且迭代次数只为对应方程组阶数的一半，远小于方程组的阶数，计算速度很快。