初等数学教学课件

几何证题中的错例分析与归因一、证题过程中的要求：1.证题依据方面：要准确理解几何概念、公理、定理、公式等等2.逻辑规律方面：要满足同一律、矛盾律、排中律、充足理由律等等二、证题过程中常见的错误类型：“偷换概念”、“偷换命题”、“循环论证”、“虚假理由”、……•错例剖析与更正CABCABPCPBPA内任意一点，求证：为已知：例ABCP.1CABCABPCPBPACAPCBCPBABPAAPBABPABP,:)(,1同理如图中，在：证ABCPABCP原因分析：证1.是以P的某一特殊位置代替了P的任意性。显然，当P位于P/时，上述证法就不行了！偷换命题P/错误类型：指在证明时，证题者偷偷加入某些条件，用命题的特殊形式代替一般情况加以证明。（违反同一律！）正确证法：DCPBPAPCABCABPBAPBCACPCBPACABPCAPBCABPCAPDCBDABPDAPADBDABPCDCPDDBCAP:,:::,;得上面三式相加同理即得上面两式相加。于点，交证：延长HNGMCHEAGEHNGMHGCDABEFCDAB////.2的平分线。求证：、分别是、；、于、交，直线已知：例HGAECMNBDF1432平行）（同位角相等，两直线（等量的同量相等）是上述二角的角分线，、又如图，证HNGMHNGMCHEAGECDAB//21//.1原因分析：证1.是把∠1和∠2当作GM,HN被EF所截得到的同位角,从而得出所要的结论.而显然∠1和∠2不是同位角!偷换概念错误类型：指在证明时，把不属于某一概念外延的事物误认为属于这一概念,从而误认为该事物具有此概念的某些属性,得出错误的证明。（违反同一律！）正确证法：HGAECMNBDF1432平行）（同位角相等，两直线（等量的同量相等）是上述二角的角分线，、又如图，证HNGMHNGMCHEAGECDAB////.243BOPAOPPDECFOFOEODOCOBOAAOBFDEC。求证：交于与，，且上，和的分别在、和、如图，已知例:.3PFDOBACE12BOPAOPDOPCOPODPOCPODPOCPOPOPODOCODPOCPODECOFODEOCFOEOFDOECOFODOCODEOCF，，中：和在，即：，，中：和：在证211原因分析：证1.中“△OCP≌△ODP”成立的理由虚假（SSA）!虚假理由错误类型：指在证题遇到困难时，常常无根据地、任意地推广引申定理，得出有利于论题成立的假判断作为论证的根据。（违反充足理由律！）正确证法：PFDOBACE12BOPAOPSSSODPOCPOPOPODOCDPCPAASFDPECPFPDEPCFDCEODECOFODEOCFOEOFDOECOFODOCODEOCF）（，又）（，又，即：，，中：和：在证212BDPQACCDABQP////.4为两外公切线。求证：与，、两个不等的圆交于点例FEQPGABCDBDPQACBDEFACFDFCEBAEFDFCEBEAEQEPEBEQEPEAFCDEABPQ////////122定理的逆定理）（平行线截得比例线段同理得：；由切割线定理得：。于，交于交：如图，延长证原因分析：证1.中使用的逆定理恰好不成立，理由虚假!FEQPGABCD正确证法：BDPQACBDACEFABDCEFFDCFBEAEABDCCDABACBDCGDGAGBGCGAGDGBGG//////////2即：的中位线。是梯形，又是梯形不平行，与又，由切线长定理得：。：设两外公切线交于点证。也过点边上的中线求证：，交于点、边上的中线、中，在例OCFABOBEADACBCABC.5OFDECAB。必过重心边上的中线的重心。为是唯一的。点个交点。而两直线相交，只有一，相交于点、由已知得：中线都交于一点，任何三角形的三条中线证OCFABABCOOOBEAD.1原因分析：证1.中的第一句话其实就是本题要证明的内容，这里将它作为已知结论来用，因此属于循环论证!OFDECAB循环论证错误类型：指利用要证明的命题本身或它的等价命题作为证明的依据,其实并没有给出命题的证明。正确证法：命题得证。为中点。，即：。和平分是平行四边形。即：，又，而。，连接延长线交点为与，使得作过。于点并延长，交，连接设证FBFAFABOHFAOBHBHADBHODBDCDHOCOAECEEOAHBHHCFAHBEAHAFABCOOBEAD////////.2H四线共点。、、、求证：对角线的各边上，边形的各顶点分别在平行四已知平行四边形例FHEGBDACABCDEFGH.6FOCABDEHG1234..4321.1OHFEGBDACOEGGOEOOHFFOHODOFDOHOBODBOFDOHOBDACABCD交于一点、、、也过点，且同理可证：过点，又中，与在相交于点、线的对角：设平行四边形证原因分析：证1.中的“∠3=∠4”是对顶角的前提是已经承认了HF与BD交于点O，而这正是要证明的，因此也属于循环论证!FOCABDEHG8正确证法：OFHEGBDACOHFOEGACOAECGCGAEFCAHCGAECFGAEHBDACOOBDAC交于一点、、、也过点同理：必过点的中点。为又是平行四边形。又，，的中点。、为则：，交于点、：设证//87652567命题真伪性的判断例1.判断下列命题的真假：（1）若四边形的四边相等，则为正方形。（2）若两多边形的对应边成比例，则必相似。（3）若两多边形的对应角相等，则必相似。例2.命题：“有一双对边相等和一双对角相等的四边形是平行四边形”请判断此命题是否正确，为什么？有人解答如下：FEBCAD是平行四边形求证：，已知：ABCDCABCAD是平行四边形；，且，，）（，又，）（，，，证明：作ABCDABDCABDCBEDFABAEBEFCDFDCBEDFHLDFBDEBDBDBCFAEBFDEAASCFBADERBFCDEABCADCADCBFABDE////21t12反例：作法：（1）作等腰梯形BDCH（DH=BC，∠1=∠2）（2）以D为圆心，DH为半径作弧，交HB延长线于一点，记为A。（DH=DA→DA=BC，∴∠3=∠2，从而∠1=∠3）则：ABCD为所求！AHBDC312练习题：判断下列命题的真伪：1.一个三角形的二边和其中一边上的高，同一个三角形的二边和其中一边上的高对应相等，则此两三角形全等。2.在三角形ABC中，ABAC,AD是BC边上的中线,AE是∠A的平分线,则有:AEAD