初等方法建模4交通事故调查--数学建模案例分析

数学建模案例分析数学建模§4交通事故调查一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲进路边的沟里。警察闻讯赶到现场，对汽车留在路上的刹车痕迹进行细致的测量，利用所测到的数据画出了事故现场的平面图。询问司机时，他声称当时车进入弯道后刹车失灵，还说进入弯道时的车速不到30英里/小时（该路速度上限）。通过验车证实该车的制动器在事故发生时确实失灵。警察按通常做法，作一条基准线来测量刹车痕迹，距离x沿基准线测得，距离y与x垂直。下表给出外侧刹车痕迹的有关值（单位：米）x0369121516.64182124273033.27y01.192.152.823.283.533.553.543.312.892.2214.290警察还测了路的坡度，发现是平的。接着以同型号的车在初速度为30英里/小(13.4112米/秒）下进行两次刹车测试。结果如下：第一次测试位移0.11s米第二次测试位移85.10s米现在的问题是，造成事故的直接原因究竟是刹车失灵还是违章超速行驶。模型假设1、从平面图可见汽车没有偏离它行驶的转弯曲线，车头一直指着切线方向。由此可设汽车的重心沿一个半径为r的圆运动；2、从平面图可见汽车车轮转着打滑,车滑向路边。由此可认为摩擦力作用在汽车速度的法线方向上，在这种情形下，摩擦力提供向心力。摩擦系数为。3、汽车出事时的速度v是常量，即初速度0v。模型建立1、计算出圆周半径r的近似值。由测得的数据进行拟合一个圆。可以隔三点选一个，代入222)()(rbyax（1）得到一组r的值，然后取平均值。也可由弓形中的计算公式（m为弓形的高，c为弦的长度）汽车的最终位置刹车痕迹x外侧y数学建模案例分析数学建模222)2()(cmrr（2）得到r的近似值。2、计算地面的刹车系数a（减速度a）由asvv2202及0v，得svsvva2220220（3）3、导出计算初速度0v的公式由假设2，rvmmg20，即rgv20，又由牛顿第二定律mgma有ga从而arv20（4）模型求解1、通过表中数据拟合，得到r的以下各值40.99,40.47,40.54取平均值就得到67.40r米或将55.3,27.33mc代入（2），得到75.40r米。2、取位移0.11s（用它计算得到a对肇事车辆有利），41.130v，代入（3），得2/1754.8秒米a。3、取1754.8,67.40ar代入（4），得秒米/2340.181754.867.400v小时英里＝/7732.40模型分析由计算得出超速的结论，由于模型假设3，以及确定车辆刹车位移s，模拟圆周半径r时都会带来微小误差，使得计算结果可能产生一定的误差。即使允许对司机有利的误差10%，车速仍在35英里/小时左右，因此可以断定造成事故的直接原因是超速行驶。