利用向量巧解平面几何竞赛题

利用向量巧解平面几何竞赛题“平面向量”已成为高中数学教科书中独立成章的内容，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的内涵。由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，既能反映对象间的数量关系，又能体现其位置关系，直观性好有较大的自由度.平面几何竞赛题中有的解法是很繁琐的且不容易想到，若用向量法解之，则比较简便，也无需添加辅助线，不仅降低了难度，而且简便易懂。本文用到下面三个结论：设O为坐标原点,记OA=A,|OA|=|A|OAOBAB=A-B.①若点P在线段AB上，则P=tB+(1-t)AABPBt10t.②②设P是ABC内任意一点，直线AP、BP分别交BC，CA于A1，B1若CABA11ABCB11则)1(1PBBP（《数学通报》问1384）③设G，O，H，I分别是ABC的重心，外心，垂心与内心.若以O为原点有：3CBAGH=A+B+CH=3G只证明②证明：以B为原点设1PBBP1PAAP则11CA11ACB1111AABP即)1(1111CAAC得1)1(一、解与角度有关的问题例１（cruxproblem2333）D，E分别是ABC的边AC，AB上的点，DE不平行BC，F,G分别是BC，ED上的点且CDBEGDEGFCBF求证：GF与∠BAC的平分线平行.证明：以A为原点设E=pB,D=qCp,q∈(0,1)FCBFt则1tBtCF11tpBtqCtEtDG又BE=tCD故(1-p)|B|=t(1-q)|C|F-G=BtpCtqt111)1(||||1||)1(BBCCtBp又||||BBCC与∠BAC平分线平行命题得证.例2（1990IMO预选题）ABC三边长互异，G,I,H分别是其重心，内心，与垂心.求证：∠GIH900证明：以ABC的外心为原点.只需证：)()(IHIG0)(HGIIIHG又2RCCBBAA)()(2CBCBCCBBCB222aR3)()(CBACBAHG332222cbaR2)()(cbacCbBaAcCbBaAIIcbaabcR2)(3)()(4)(cbaCBAcCbBaAHGI)(3)()()(242222cbabacacbcbaR即证abccbacba3))((222)]()()([2222baccabcba即))(())((abcbbcabaa))((bcacc0不失一般性设cba则上述不等式成立.命题得证.例3.（MathematicsMagazineproblem1506）设I，O分别是非等边ABC的内心，外心.证明：∠AIO900当且仅当2ab+c.证明：以ABC的外心O为原点.只需证：0)(IIAIIAI又cbaAcCbBaAAI)()(2)(2cbacbbcR2)()(cbacCbBaAcCbBaAIIcbaabcR2即证bc(2a–b-c)0即2ab+c命题得证.二、解与比值有关的问题例4（IMO32-1的推广）设P是ABC内任意一点，直线AP，BP，CP分别交BC，CA，AB于A1B1C1.证明：278111CCBBAACPBPAP证明：以B为原点设CABA11ABCB11由Ceva定理得BCAC111由②得11PAAP)1(1PBBP11PCCP有111AAAP11BBBP111CCCP即证31111)1)(1)((CCBBAACPBPAP278因为)1)(1)((3312783)1(2所以2781)1)(1)((3.等号当且仅当1即P为ABC的重心时成立几个结论：（1）1AAAP+1BBBP+1CCCP=2（2）81111CPBPAPPCPBPA1PAAP+1PBBP+1PCCP612111111PAPCAPCPPCPBCPBPPBPABPAP上述等号当且仅当P为ABC的重心时成立.1PAAP、1PBBP、1PCCP这三个比值中至少有一个2，并且至少有一个2.（3）11AAPA+11BBPB+11CCPC=143111111PAPCPAPCPCPBPCPBPBPAPBPA等号当且仅当P为ABC的重心时成立.