关于凸函数的研究-毕业设计

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第1页共16页关于凸函数的研究作者：余林清指导老师：马宗立摘要本文从凸函数的多种定义入手,介绍了凹凸函数的性质及判定定理.在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的定义，判定方法及其应用.然后将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出n元凹凸函数的定义及判定方法.本文主要讨论了一元、二元、多元凹凸函数的定义、性质及判定方法，并介绍了它们在不等式中的应用.关键词凸函数不等式多元函数1引言凸函数是一种性质特殊的函数，在数学中作为一个分支进行研究，在函数的研究领域中占有十分重要的地位.到目前为止，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究，再到凸性应用的方面的研究.对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处.特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数起着十分重要的作用.凸函数有其独特的良好性质，由于凸函数理论的广泛性，及其在数学各个领域都有广泛的应用.因此，对凸函数的理论进一步深入地研究和推广，就显得尤为重要.同时，凸函数作为数学分析中一类特殊的函数，在实际课本中一般只介绍其定义以及判定，然而它在证明不等式中具有得天独厚的功用，却极少涉及.所以，总结一些凸函数性质，并且利用这些性质证明一些初等数学无法证明的不等式，用以说明凸函数在不等式中的应用，是十分重要的.2凸函数的概念及其等价定义2.1凸函数的概念定义2.1设()fx为定义在区间I上的函数，若对1x,2xI,(0,1)，有1212((1))()(1)()fxxfxfx（2.1.1）则称f为I上的凸函数.反之，如果总有)()1()())1((2121xfxfxxf（2.1.2）则称f为I上的凹函数.若式（2.1.1），（2.1.2）中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.2.2凸函数的等价定义凸函数除了上述定义之外还有多种不同定义形式，这些定义之间是相互等价的.常见的凸函数定义还有：定义2.2设()fx为定义在区间I上的函数，那么()fx为I上的凸函数当且仅当对任安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第2页共16页意两点1x,2xI,有1212()()()22xxfxfxf.定义2.3设()fx为定义在区间I上的函数，那么)(xf为I上的凸函数当且仅当对Ixxxn21,，有1212()()()()nnxxxfxfxfxfnn.3凸函数的性质在熟知了凸函数的定义之后，这一节主要讨论凸函数的一些常用简单性质.性质3.1设()fx在区间I上为凸函数，对任意0k，则0k时，()kfx在区间上为凸函数，0k时，()kfx在区间I上为凹函数.证明由于)(xf为I上的凸函数，则对)1,0(,,21Ixx有1212((1))()(1)()fxxfxfx.从而当0k时121212((1))[()(1)()][()](1)[()]kfxxkfxfxkfxkfx.即)(xkf在区间I上为凸函数.同理，可证当0k时，()kfx在区间上为凹函数.证毕.性质3.2设(),()fxgx均为区间I上的凸函数，则其和()()fxgx也是I上的凸函数.证明记)()()(xgxfxH，)1,0(,,21Ixx,由于(),()fxgx均为凸函数，故有)()1()()()()1()()()()1()()()1()())1(())1(())1((2122112121212121xHxHxgxfxgxfxgxgxfxfxxgxxfxxH故)(xH为I上的凸函数，即()()fxgx也是I上的凸函数.证毕.由性质3.1和性质3.2可得到下面的推论.推论3.1设(),()fxgx是区间I上的凸函数，则线性组合的函数安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第3页共16页1212()()(,0)kfxkgxkk为I上的凸函数，1212()()(,0)kfxkgxkk为I上的凹函数.性质3.3若)(xf为区I上的凸函数，)(xg为)(IfJ上凸增函数，则fg为I上凸函数.证明对)(),(21xfxf由于f为I上的凸函数，故1212((1))()(1)()fxxfxfx.又由)}(),(max{)()1()()}(),(min{212121xfxfxfxfxfxf.得12()(1)()fxfxJ.故当g为J上的凸增函数时有1212121212(1)((1))()(1)()()(1)()()()(1)()()gfxxgfxxgfxfxgfxgfxgfxgfx由此知fg为I上的凸函数.证毕.性质3.4若设(),()fxgx是间I上的凸函数，则max{(),()}fxgx也为I上的凸函数.证明令()max{(),()}Fxfxgx，由凸函数定义，设)1,0(,,21Ixx有)()1()()()1()())1(()()1()()()1()())1((212121212121xFxFxgxgxxgxFxFxfxfxxf从而)()1()())1(()()1()())1((),)1((max2121212121xFxFxxFxFxFxxgxxf因此)(xF为I上凸函数.证毕.性质3.5设()fx为区间I上的凹函数，()0fx，则1()fx为区间I上的凸函数，反之不成立.证明因为()0fx且为凹函数,故安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第4页共16页对)1,0(,,21Ixx有212111xfxfxxf.所以121211((1))()(1)()fxxfxfx.由于121211()(1)()()()fxfxfxfx.从而2121111xfxfxxf.即)(1xf为区间I上的凸函数.证毕.4凸函数的判定定理利用凸函数的定义判断函数)(xf在区间I上是否为凸函数往往并不方便.因此，下面给出一些凸函数的判定定理.引理若fx在区间I上成为凸函数，则对I上任意三点123xxx,有23231212)()()()(xxxfxfxxxfxf.推论4.1若在区间上为凸函数，则对上任意四点4321xxxx，有34341212)()()()(xxxfxfxxxfxf.推论4.2若()fx在区间I上的凸函数，则0,xI过0x的弦的斜率()kx00()()fxfxxx是x的增函数（若f为严格凸的,则()kx严格增）.推论4.3设函数()fx在区间(,)ab内为凸函数,则()fx在任意一闭子区间[,](,)ab上满足Lipschitz条件:即L＞0,ts.对12,,xx有1212()()fxfxLxx.安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第5页共16页证明因[,](,)ab则h＞0,使得[,](,)hhab,12,[,]xx,若1x＜2x,取32xxh,()fx在区间(,)ab内为凸函数,由引理知21322132fxfxfxfxMmxxxxh.其中,Mm分别为fx在,hh上的上下界,从而1212Mmfxfxxxh.若1x＞2x,取32xxh,因fx在区间,ab内为凸函数,由引理知23122312fxfxfxfxxxxx.即21321223fxfxfxfxMmxxxxh.因此1212Mmfxfxxxh.取MmLh,则12,[,]xx有1212()()fxfxLxx.证毕.推论4.4若函数()fx在区间(,)ab内是凸函数,那么()fx在(,)ab内处处左右可导,同时满足对任意的)(),,(,2121xxbaxx有12112212()()()()()()fxfxfxfxfxfxxx.证明若函数()fx在区间(,)ab内是凸函数,则对)(),,(,2121xxbaxx由推论4.2知22()()()fxfxFxxx在2(,)xb内为递增函数,且当bxxx21时221221()()()()fxfxfxfxxxxx.所以222()()limxxfxfxxx存在.安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第6页共16页再因2222()2()()()limxxxxfxfxfxxx.所以由单调有界定理可知2()fx存在且21221()()()fxfxfxxx.同样也可证21xxxa时有11211121()()()()()limxxfxfxfxfxfxxxxx＜.所以1fx存在.由1x,2x的任意性知fx在ba,内处处可导.再因,若1x,2xba,且21xx,取0x且bxx2,21xxx,那么22222121()()fxfxxfxfxxfxfxxxxx.即22222121()()fxxfxfxxfxfxfxxxxx.令0x则212221()()()()fxfxfxfxxx.同理可证121112()()()()fxfxfxfxxx.所以12112212()()()()()()fxfxfxfxfxfxxx.证毕.例4.1()fx为区间(,)ab上的凸函数，试证对任意0[,],xabR,对任意Ix有00()()()fxxxfx.证明已知()fx为区间[,]ab上的凸函数，则由推论4.2与推论4.4可知安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第7页共16页对任0[,]xab，00(),()fxfx存在，且00()()fxfxxx单调增加.故对0()fx当0xx时有00()()()fxxxfx.同理，当0()fx时，当0xx时有00()()()fxxxfx，因为00()()fxfx,故对00()()fxfx.对0[,]xab总有00()()()fxxxfx.证毕.定理4.1设f在区间I上可导，则下述论断相互等价：①f为I上凸函数；②f为I上增函数；③对I上任意两点21,xx有21121()()()().fxfxfxxx由③我们不难发现曲线)(xfy总是在它任一切线的上方，这是可导凸函数具有的几何特征.定理4.2（凸函数与二阶导数的关系）设f为区间I上的二阶可导函数，则f在I上为凸（凹）函数的充要条件是0(0),.ffxI例4.2试确定函数xxy1的凸性区间.解由于32yx，当0x时，0y；当0x时，0y;故在区间)0,(上y为凹函数，在区间),0(上y为凸函数.5关于凸函数的几个重要不等式安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第8页共16页5.1Jensen不等式定理5.1.1（Jensen不等式的一般形式）若()fx为[a,b]上的凸函数，则[,]ixab,0(1,2,,),iin11,nii，有11()()nniiiiiifxfx.特别地，当n21时，有