六年级寒假奥数第四次课

学辅教育成功就是每天进步一点点!学海无涯多歧路“学辅”相伴万里行!1授课老师：授课日期：六年级寒假·第四讲平面图形的认识和计算【知识要点】1．了解平面图形的特点。2．掌握基本的几种平面图形的面积和周长的计算方法（如：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆）。3．要牢记每种平面图形的面积计算公式，特别是计算三角形和梯形面积时，不要忘记乘21（或除以2）。4．对于一些较复杂的图形，要有意识地将其进行简单的变化，可以化繁为简，化难为易，获得最佳解法。【复习巩固】1、一个长方形，长20厘米，如果长减少5厘米，要使面积不变，宽应增加（）%。2、从（）到（）任意一点的线段叫半径。3、通过（）并且（）都在（）的线段叫做直径。4、在同一个圆里，所有的半径（），所有的（）也都相等，直径等于半径的（）。5、用圆规画一个直径20厘米的圆，圆规两脚步间的距离是（）厘米。6、把一个圆形纸片等分成若干等份，然后把它剪开，拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于圆的（），宽相当于圆的（）。因为长方形的面积是（），所以圆的面积是（）。7、正方形有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，等腰三角形有（）条对称轴，等边三角形有（）条对称轴。8、一个圆的周长是同圆直径的（）倍。9、一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的是（）平方厘米？10．在一个正方形中剪下一个最大的圆，剩余部分的面积占正方形面积的（）%，如果正方形的边长是8厘米，剪下部分的面积是()平方厘米。【精选例题】1．在图（一）中，梯形的面积是60平方厘米。请算出阴影部分的面积。学辅教育成功就是每天进步一点点!学海无涯多歧路“学辅”相伴万里行!212cm图（一）2.已知两正方形的面积分别为16cm2和36cm2。求阴影部分的面积。ABCDEFG图（二）3．如图（三），圆面积与长方形面积正好相等。已知圆的半径为10厘米，求图中阴影部分的周长是多少厘米？O图（三）4．求图(四)中阴影部分的面积。(单位：厘米)106图(四)5．在图(五)中，是以一个三角形的三个顶点为圆心，2厘米为直径所作的三个圆，那么这三个阴影部分面积的总和是多少？图(五)6．如图(六)中，梯形ABED与三角形DEC的面积比为6：7，BE和EC的长分别是多少厘米？学辅教育成功就是每天进步一点点!学海无涯多歧路“学辅”相伴万里行!3ADBEC1016图(六)【巩固练习】一、判断题1．大于900的角叫做钝角。()2．两个内角的和小于第三个角的三角形一定是钝角三角形。()3．一个三角形中，至少有两个锐角。()4．所有四边形内角和都是3600。()5．两个面积相等的三角形，一定能拼成平行四边形。()二、填空题1．一个直角三角形三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm。则这个三角形的面积是()，最长边上的高是()。2．一个三角形与一个直径10cm的圆面积相等，已知三角形底长15.7cm，高是()cm。3．圆的周长大约是直径的()倍，一个圆的直径扩大2倍，它的周长扩大()倍。4．如图(七)中，甲和乙的周长相比，甲()乙。(填、或=)甲乙图(七)5．在下图中，三角形AOD面积()三角形BOE的面积。(四边形ABCD是长方形)(填、或=)ABCDoE6．一个正方形的边长增加10%，它的面积增加()%。三、解答题1．如图(八)，一个扇形，半径为6厘米，圆心角为45度。求阴影部分的面积。4506图(八)2.如图(九)中的大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74，则阴影三角形的面积是多少？学辅教育成功就是每天进步一点点!学海无涯多歧路“学辅”相伴万里行!4图(九)3．计算图(十)中阴影部分的面积(单位：厘米)。(用两种方法解)44AODB图(十)33、平面图形的计算【周长的计算】例1有9个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图5.54）的面积是45厘米2，求这个大长方形的周长。（第四届《小学生数学报》邀请赛决赛试题）讲析：设每个小长方形的长是a厘米，宽是b厘米。于是有a×b=45÷9＝5；又有：4a=5b。可求得b=2，a=2.5。所以大长方形的周长为6a＋7b=29（厘米）。例2图5.55中图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？（全国第四届“华杯赛”决赛试题）学辅教育成功就是每天进步一点点!学海无涯多歧路“学辅”相伴万里行!5讲析：图5.55（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图5.55（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小。二者相差2·AB。从图5.55（2）的竖直方向看，AB＝a－CD图5.55（2）中大长方形的长是a＋2b，宽是2b＋CD，所以，（a+2b）-（2b＋CD）=a-CD=6（厘米）故：图5.55（1）中画斜线区域的周长比图5.55（2）中画斜线区域的周长大，大12厘米。【面积的计算】例1如图5.56，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是______。（北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：连结AE（如图5.57），则三角形AEC的面积是16÷2-4=4。因为△ACF与△AEC等高，且面积相等。所以，CF=CE。同理，△ABE的面积是16÷2-3=5，则BD∶BE=3∶5。即BE=学辅教育成功就是每天进步一点点!学海无涯多歧路“学辅”相伴万里行!6从而，△ABC的面积是16-（3＋4+2.5）=6.5。例2如图5．58，在等边三角形ABC中，AF=3FB，FH垂直于BC，已知阴影部分的面积为1平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？（1992年武汉市小学数学竞赛试题）讲析：如图5.59，连接△ABC各边中点，则△ABC被分成了大小相等的四个小三角形。在△DBG中，再连接各边中点，得出将△DBG又分成了四个很小的三角形。经观察，容易得出△ABC的面积为（1×2）×4×4=32（平方厘米）。例3三条边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形如图5.60（1），将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图5.60（2）。那么，图5.60（2）中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是______平方厘米。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析：如图5.60（2），设EC等于a厘米，那么DE也为a厘米。△ABC的面积等于△ABE的面积加上△AEC的面积。学辅教育成功就是每天进步一点点!学海无涯多歧路“学辅”相伴万里行!7例4如图5.61，ABCD是一个梯形，已知三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD的面积是______平方厘米。（广州市小学数学竞赛试题）讲析：可设△AOD的面积为S1。则，△BOC的面积为S1＋12。于是有：S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S1，S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S1）＋（S1＋12）=24（平方厘米）。所以，梯形ABCD的面积是24+12=36（平方厘米）。例5梯形ABCD被两条对角线分成了四个三角形S1、S2、S3、S4。已知S1=2厘米2，S2=6厘米2。求梯形ABCD的面积。（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题）讲析：三角形S1和S2都是等高三角形，它们的面积比为2∶6=1∶3；则：DO∶OB=1∶3。△ADB和△ADC是同底等高三角形，所以，S1=S3=2厘米2。学辅教育成功就是每天进步一点点!学海无涯多歧路“学辅”相伴万里行!8三角形S4和S3也是等高三角形，其底边之比为1∶3，所以S4∶S3=1∶所以，梯形ABCD的面积为例6正方形边长为20厘米（如图5.63），已知DD′=EE′，CE=6厘米。则阴影部分三角形的面积最大值是______平方厘米。（海口市小学数学竞赛试题）讲析：E′点在BE段滑动，D′点在DC段滑动。设DD′长a厘米。D′C=20-a，E′C=a＋6。又因为D′C＋E′C=（20-a）＋（a＋6）=26。运用等周长的长方形面积最大原理，两个数的和一定（等于26），要把这个和分成两个数，使这两个数的积最大，则当20-a=a＋6=13时，即a=7=84.5（平方厘米）。例7图5.64是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。问：阴影部分的面积是多少平方厘米？学辅教育成功就是每天进步一点点!学海无涯多歧路“学辅”相伴万里行!9（全国第四届“华杯赛”决赛试题）讲析：如图5.65，连接AC，所分成的四个小三角形分别用S1、S2、S3、S4表示。容易看出S2和S3是关于OC为对称轴的对称图形。所以S2=S3。从而不难得出S1、S2、S3、S4四个小三角形面积相等，即每个小三角例8一个正方形（如图5.66），被分成四个长方形，它们的面积在图中标出（单位：平方米）。图中阴影部分是一个正方形。那么，它的面积是______。（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：可将四个长方形分别用A、B、C、D表示（如图5.67），阴影部分是B中的一部分。大正方形的面积为1平方米，所以它的边长为1米。学辅教育成功就是每天进步一点点!学海无涯多歧路“学辅”相伴万里行!10因为长方形C和D的宽相等，所以它们长的比等于面积比。于是得C的米。例9把大的正三角形每边8等分，组成图5.68所示的三角形网。如果每个小三角形面积是1，那么图中粗线围成的三角形面积是______。（1988年北京市奥林匹克邀请赛试题）讲析：一般地，关于格点多边形的面积，有下面的公式：这里，格子面积等于小正方形或平行四边形面积，也就是小三角形面积的2倍。题中，格子面积为1×2=2，内部格点数为12，边上格点数为4。所以，粗线围成的面积是