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关于圆的滚动问题的探讨在北师大版九年级数学(下)《圆》一章有这样道题目:如图(1):取两枚同样大小的硬币,将其中一枚固定在桌子上,另一枚沿着固定硬币边缘滚动一周,那么滚动的硬币自身转了多少圈?要明确的解决该问题,首先我们应从是下面这个简单问题入手:如图(2):一枚直径为d的硬币沿直线滚动一周,圆心经过的距离是多少?分析:硬币在滚动的整个过程中,始终与直线相切,即:图示中的圆于直线相切,从而AM,BN分别与直线垂直,易知AM,BN互相平行且相等,所以四边形AMNB为矩形,因为MN是硬币滚动一周的长度,于是圆心经过的距离等于MN的长度,即:硬币的周长d。结论:圆心经过的路径是一条和桌面平行的一条线段,硬币沿直线滚动一周,圆心经过的路径等于硬币的周长;反之,若滚动过程中,圆心经过的路径长度等于硬币的周长,那么硬币恰好滚动一周。需要说明的是,圆即便在曲线上滚动上述结论显然也是成立的。明白了上面的结论,我们将会很轻松地计算出圆在滚动过程中,自身转动的圈数问题。接下来,让我们来看一个更一般的问题:如图(3):⊙A半径为1r,⊙B半径为2r,若⊙A不动,⊙B绕⊙A无滑动滚动一周,⊙B自身转动多少圈呢?我们可以这样来思考:该问题可以看作⊙B在一曲线(⊙A的圆周上)滚动,如图(5)所示。当⊙B绕⊙A无滑动滚动一周时,其圆心经过的路径恰为以A圆心,(1r+2r)为半径的圆;那么,圆心B经过的路径长是2(1r+2r),有上面结论,⊙B自身转动的总长度应与圆心B经过的长度保持相等,设⊙B转动了n圈,应有下面式子成立:22r·n=2(1r+2r)于是n=122rrr我们回到文章开头的引例,由于两枚硬币半径一样长,我们可得n=111rrr=2,即滚动的硬币自身转动了两圈。估计直到现在,有些读者可能心中仍然还存在疑惑,理论上我们已解决了文章开头提出的问题:当等大的硬币绕固定硬币的边缘滚动一周,滚动的硬币自身转动了2圈,用实物操作亦是如此,但心理上总是不能接受,因为,两枚硬币周长一样,当硬币B“吻”遍硬币A一周时,硬币B也被硬币A“吻”遍了一周,硬币B不是转了一圈么?为何实际情况却是两圈呢?其实,我们应这样理解:⊙B行走的路径不是一条直线,而是一条曲线(圆),⊙B上各点同一时刻进行着两种运动:①绕点A转动,②绕点B转动。这有点像地球,当它绕太阳旋转时,本身也在自转。正是这样的原因,硬币B转的不是1圈,而是2圈。⊙B上各点与点A的距离随着⊙B的转动而不断变化,给我们研究问题带来了很大不便,这也是我们为何选点B来解决该问题最重要的原因。通过上面的讨论,不知你是否已清楚解决圆转动过程中的圈数问题的基本思路。请看下面几个典型题目:例1⊙O的半径为R,⊙1O⊙2O半径均为r,⊙1O与⊙O内切,沿⊙O内侧滚动m圈后,回到原来位置,⊙2O和⊙O外切,并沿⊙O外侧滚动n圈后,回到原来位置,则m,n大小关系是()A、m>nB、m=nC、m<nD、无法确定解:⊙2O绕⊙O滚动一周,圆心2O经过的路径长为:2(R+r),于是⊙2O转了:n=2()2Rrr=Rrr=Rr+1(圈)同理⊙1O转了;m=2()2Rrr=Rrr=Rr-1(圈),所以选C例2一个等边三角形的边长与和它一边相切的圆周长相等,当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形三遍作无滑动滚动,直至回到原出发位置时,问该圆转动了几圈?分析:只要计算出圆心经过的路径的总长度,除以该圆周长便可算出转动的圈数。如图(6)所示,⊙1O在AB边上与之相切,A为切点,绕A转到AC边上时,与AC相切,A仍为切点,此时,圆心经过的是12OO,因∠1OA2O=0360—2×090—060=0120观察图形,不难看出圆心在三个顶点处经过的三段弧恰是等弧,从而,圆心经过的总路径长=3AB+3×1120180OA=3AB+AB=4AB,于是,当圆回到出发位置时,共转了4圈。聪明的你请思考下面问题:物理课上老是为同学们演示了一个实验:如图(7),在“V”字形轨道ABC上滚动一个半径为10cm的圆盘,其中轨道AB与BC夹角为0120,AB=60cm,BC=40cm,将圆盘无滑动地从点A滚动到点C,圆转动了几圈?略解:当圆盘从A沿水平滚动到顶端时,恰与AB、BC同时相切,设切点为D,E.连接OB,知2RORt1DBtOEB可求得BD=EB=20ODtan60=10103=33于是1223103OO+OO=60+40-23203 =100-3那么圆滚动了203100-15-33=2103(圈)注意:圆在滚动中,弧DE这一段并没滚动,在计算滚动圈数时不应算在内。如图:水平地面上有一面积为302cm的扇形AOB,半径OA=6cm,且OA与地面垂直。在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动OB与地面垂直为止,则O点移动的距离为多少?
本文标题:关于圆的滚动问题的探讨
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