关于缓和曲线平行线的探讨

关于缓和曲线平行线的探讨薄志毅(北京煤炭工业学校100042)【摘要】本文推导了缓和曲线平行线上的点位坐标参数方程，从而为正确测设缓和曲线平行线提供了理论依据，并探讨了缓和曲线平行线的详细测设方法。在公路建设工程中，应用该法可取得较好的效果。一、前言城市道路建设过程中，经常遇到缓和曲线型的道路。缓和曲线线型有多种，目前公路建设中，我国采用的是辐射螺旋线。公路的中线为缓和曲线，则其边线按设计要求一般为缓和曲线(中线)的平行线。在实际工作中，存在一些错误认识，将道路边线当作缓和曲线来测设，即套用缓和曲线的计算公式。本文首先论证了该方法的错误所在，然后严密地推导了缓和曲线平行线上点位坐标的参数方程，并提出了缓和曲线平行线(道路的边线)详细测设方法，在实际应用中取得了较好的效果。二、缓和曲线平行线不是缓和曲线缓和曲线的平行线不是缓和曲线，或者严格地说不再是辐射螺旋线。如图1所示，缓和曲线的起点为ST，图1终点为CS。缓和曲线上任意一点的曲率半径&rho，与该点到缓和曲线起点的曲线长度l成反比，即(1)式中，R为圆曲线半径，l０为缓和曲线总长。设缓和曲线上任意一点的切线和曲线起点切线的交角为&beta，简称切线角。&beta角的计算公式为：(2)如图1所示，另外一条曲线是缓和曲线的平行线，起点为ST&prime，终点为CS&prime，其上任意一点曲率半径为&rho&prime，任意一点到起点ST&prime的曲线长度为l&prime。下面推导&rho&prime与l&prime之间的关系式。由曲线的性质，可知：式中，D为中线与边线的间距，将(1)式代入上式得(3)切线角&beta的微分d&beta与曲线长微分dl及dl&prime存在下面关系：整理上式，得将(1)、(3)两式代入上式，得对上式进行积分，得(4)由上式解方程，可得(5)将(5)式代入(3)式，得&rho&prime与l&prime的关系式：(6)对上式进行分析，显然&rho&prime与l&prime不成反比，因此缓和曲线的平行线不具备缓和曲线的特性，从而从理论上证明了缓和曲线平行线不再是缓和曲线。这一点在实际工作中，也可以得到证实。三、重新推导缓和曲线上任意一点点位坐标参数方程在有关文献中，对缓和曲线上任意一点p的直角坐标公式都进行了推证，公式中的参数是曲线长度l。其具体表达式为：(8)为推导缓和曲线平行线上任一点点位坐标之需，下面以切线角&beta为参数，推导缓和曲线上任意一点p的直角坐标公式。由图1中可以看出，缓和曲线上任意一点p的曲线微分dl与对应的dx及dy的关系式如下：(10)曲线微分dl与切线角&beta的微分d&beta的关系如下：(11)将(1)、(2)两式代入(11)式，得(12)将(12)式代入(9)、(10)两式，得以切线角&beta作为积分变量，对上面两式进行积分，得(14)将cos&beta与sin&beta按麦克劳林公式展开：(16)将(15)式代入(13)式，得(17)将(16)式代入(14)式，得(18)将(2)式分别代入(17)、(18)两式，可得出与(7)、(8)两式相同的结果。四、推导缓和曲线平行线上任意一点点位坐标参数方程如图1所示，坐标系统不变。在边线上任取一曲线微分dl&prime，dl&prime与dx、dy的关系如下：曲线微分dl&prime与切线角微分d&beta的关系如下：将(1)、(2)两式代入上式，得(21)将(21)式代入(19)、(20)两式，得(22)(23)对(22)式取定积分，得边线上任意一点q的纵坐标xq：(24)将(13)式代入(24)式，得(25)将(7)、(2)两式代入上式，得(26)对(23)式取定积分，并考虑到边线起点的横坐标为y=-D，则有：(27)将(14)式代入上式，得(28)将(8)、(2)两式代入上式，得(29)(26)、(29)两式，就是缓和曲线平行线上任意一点坐标的参数方程，其参数是缓和曲线长度l。利用缓和曲线长l和平行线曲线长度l&prime之间的关系，即利用公式(5)，也可将(26)、(29)两式中的参数转换成平行线的长度l&prime。实际上，对图1认真分析，根据曲线的几何意义，也可以很容易推导出公式(26)、(29)。道路的两侧都有边线(缓和曲线的平行线)，另一侧边线(即内边线)上任意一点坐标的参数方程，其形式与(26)、(29)两公式一样，只是D的取值为负。即当&rho&prime&rho时，D取正值；当&rho&prime&rho时，D取负值。有了公式(26)、(29)，就可以正确地测设道路边线。五、缓和曲线型路段的边线测设中线为缓和曲线的道路，其边线一般为曲线的平行线。依据公式(26)、(29)，边线的测设有多种方法。这里只探讨偏角法，就是将经纬仪安置在边线起点ST&prime上，以切线ST&prime-TP&prime为零方向，根据弦切角&Deltai和弦长Ci来标定边线上各点。如图2所示，欲测设边线上1点和2点。可以在ST&prime点安置经纬仪，以ST&prime-TP&prime方向作为零方向，拨出偏角&Delta１，沿视线方向量取弦长C１，即得放样点1。继续拨偏角，使总偏角值为&Delta2，由1点向前量取弦长C２与仪器视线的交点，即为放样点2。图2图2设边线上i点的偏角为&Deltai，i点到i-1点的弦长为Ci，由于弦长与弧长之差很小，计算弦长时，近似用弧长代替。下面求解&Deltai和Ci的计算公式。边线上i点的偏角&Deltai为：根据公式(26)、(29)，将xi、yi计算公式代入上式，得(30)i点到i-1点的弦长Ci为：将公式(4)代入上式，得(31)公式(30)、(31)，即是&Deltai和Ci的计算公式，是以缓和曲线长li为参数。利用公式(5)也可以将公式(30)、(31)中的参数转换成li&prime。六、实例下面以一个实际工作中的例子，说明偏角法边线测设的方法。如图3所示，某段道路中线为缓和曲线，缓和曲线起点ST的桩号为3+161.48，终点CS的桩号为3+217.04，与之相接的圆曲线的半径R＝180m。中线的边线起点为ST&prime，终点为CS&prime。中线距边线间距为D＝8m。要求测设边线。一般在边线测设前，道路中线已测设完毕。本例中，3+161.48，3+170，3+180，3+190，3+200，3+210，3+217.04各桩点已测设完毕。在边线上，取与中线各点相对应的点，也就是边线上与中线点同一法线上的点。例如，170&prime点与170点相对应。图31.准备标定数据缓和曲线全长l０＝217.04-161.48＝55.56m，利用公式(30)、(31)计算边线上各桩点的偏角&Deltai及与之对应的弦线长Ci，其结果见表1。2.实地标定首先将经纬仪安置在缓和曲线起点ST点上，以切线为零方向，拨直角沿视线方向量取D＝8m，获得边线起点ST&prime。然后，在边线起点ST&prime上安置经纬仪，以切线ST&prime-TP&prime方向为零方向，并使度盘读数为零，拨偏角0°04&prime26&Prime，沿视线方向自ST&prime点量取8.549m，得边线上表1边线上各点的标定数据边线点名中桩弧长l/m偏角&Deltai/°&prime&Prime弦线长ci/m161.48&prime(ST&prime)0.000000000.000170&prime8.520004268.549180&prime18.5200194310.108190&prime28.5200465010.188200&prime38.5201252210.268210&prime48.5202161210.348217.04&prime(CS&prime)55.560258467.334170&prime点。拨偏角0°19&prime43&Prime(即度盘上读数为0°19&prime43&Prime)，从170&prime点起向前量取弦长10.108m，与经纬仪视线相交，得边线上180&prime点。同法可测设其余各点，一直到CS&prime点。用钢尺量170&prime点到170点的距离，其距离应为8m，用此方法作为检核测量。其它边线点的检核方法同理。3.计算边线上点位坐标错误的计算方法是，将边线看作缓和曲线，按照缓和曲线上点位坐标计算公式来计算边线上点位坐标。即按照下面的公式：正确的计算边线上任意一点坐标的公式，就是本文推导的公式(26)、(29)。按照不同公式的计算结果列于表2。对表2进行分析，点位坐标差值主要体现在y值上，即主要体现在与曲线切线相垂直方向上。越靠近边线终点，差值越大。200&prime点的正确y值与错误y值之差已达0.037m，终点y值之差达0.089m。公路施工质量要求，实际路宽与设计值之差不超过0.020m。显然，采用错误计算方法计算点位坐标，对于有的点来说，其点位精度不能满足工程质量要求。表2依据不同计算公式计算边线上点位坐标边线点名中桩弧长/m边桩弧长/m正确x/m错误x/m差值&Deltax/m正确y/m错误y/m差值&Deltay/m161.48&prime(ST&prime)0.0000.0000.0000.0000.000-8.000-8.0000.000170&prime8.5208.5498.5208.549-0.029-7.989-7.990+0.001180&prime18.52018.65718.65718.656+0.001-7.893-7.899+0.006190&prime28.52028.84528.84128.8410.000-7.607-7.625+0.018200&prime38.52039.11339.09239.093-0.001-7.029-7.066+0.037210&prime48.52049.46149.39249.396-0.004-6.042-6.111+0.069217.04&prime(CS&prime)55.5656.79556.65756.665-0.008-5.051-5.140+0.089七、结束语错误地将缓和曲线平行线(道路边线)，作为缓和曲线来测设，其点位误差是较大的，并且随着路宽的增大而增加。因此，目前在测设边线时，多数测量人员采用这样的办法：先标定缓和曲线(路中线)，然后在中线各桩点上安置经纬仪，沿曲线法线方向标定边线上相应的桩点。这种方法的缺点是，在每个中线点上安置仪器，标定工作量大，测设速度慢。另外，当道路是改扩建工程时，道路中的交通不能阻断，一般是施工与行车同时在路面上进行。当仪器频繁地在道路中线上设站时，车来车往对测量人员和仪器的安全构成很大的危险，也给测设工作带来很大的干扰。采用本文所推导的边线上点位坐标计算公式，及测设方法，可以较好地解决上面所说的问题。根据边线上点位坐标公式(26)、(29)，以及曲线长公式(4)、(5)，也可以灵活采用其他的测设方法，解决边线的测设问题。在实际工作中，应用本文所推导的计算公式，测设边线，提高了工作效率，通过实践也验证了其理论的正确性。参考文献［1］《城市测量手册》编写组编写.城市测量手册.北京：测绘出版社，1993［2］田佩俊，陈汉华编.矿山测量学.徐州：中国矿业大学出版社，1985［3］李青岳主编.工程测量学.北京：测绘出版社1984