关于连接物体运动的合成与分解问题讨论

关于连接物体运动的合成与分解问题讨论吴明辉赵中泽杨国平（云南省昆明市云南大学附属中学650000）电子邮箱：[e-mail]；电话：[phone]摘要：连接物体运动的合成与分解问题在中学里经常遇到，解决这类问题主要用“微元法”和“速度分解法”，两种方法的使用各有其特点，我们通过实例对其加以说明。同时，对使用“速度分解法”时学生容易犯的错误进行讨论。关键词：连接物体、运动的合成与分解、“微元法”、“速度分解法”。在连接物体运动的合成与分解问题中，我们经常遇到两个物体通过一根绳子跨过定滑轮连接在一起时，已知一个物体的速度，求解某一条件下另一物体的速度。对于这样的问题，我们通常使用“微元法”和“速度分解法”进行求解。如下面这一个我们十分常见的例子。实例1、如图1所示，在水平面上放一个物体，一辆小车通过不可伸长的细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动。若车以大小不变的速度v运动，当绳子与水平方向成角时，物体前进的瞬时速度是多少？解析：方法一、“微元法”物体以质点表示，在很短的时间t内，物体由位置A向前运动到B点，绳与滑轮的接触点记为O点，在OA上取OB的等长OC，连接BC。设t时间内物体的位移为s，小车的位移为s。则AC=s，AB=s，如图2所示。由于时间很短，绳子OA旋转到OB的角度也很小，而OC=OB，则可近似090OCB，得：cosACAB，而AC=s，AB=s，所以cos=ss，设物体的速度为v物，又由于时间t很短，平均速度等于瞬时速度，,ssvvtt物，所以cos=vtvvtv物物，=cosvv物。方法二、“速度分解法”物体在前进的过程中，它的合速度v物水平向左，相对于O点，其运动达到了两个效果，v1图v图2ABCO即：沿绳子方向靠近O点和绕O点旋转，根据其效果，把合速度v物分解到沿绳子方向的v1和垂直于绳子方向的v2，分别叫径向速度和切向速度，描述物体靠近O点和绕O点旋转的快慢。如图3所示。可得：1cosvv物，而v1=v，即：cosvv物。由以上的分析可知，在这类题目中，用“微元法”一般会比较麻烦，用“速度分解法”则显得比较简单。但是，用“速度分解法”则必须注意分速度与其它已知的速度之间是否有直接的关系，如下一题的情况。实例2、如图4所示，两定滑轮间距离为2d，质量相等的小球A和B通过绕过定滑轮的绳子带动小球C上升，在某一时刻连接C球两绳夹角为2时，A、B两球下落的速度为v，不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不可伸长。求此时C球上升的速度是多大？解析：法一、“微元法”如图5所示，C球此时所在的位置记为C点，设C球的速度为Cv，其方向向上。经过很短的一段时间t，到达其上方D点，在OC上取与OD等长的一段OE，连接DE，设在该段时间内A的位移为s，C的位移为s，CD=s，CE=s。由于t很短，则ODEOED，近似取900，那么DE垂直于OC，得：cosCECD，即：cosss，又由于时间t很短，平均速度等于瞬时速度。有,Cssvvtt，可得：coscosCCCvtvvvvtv。方法二、“速度分解法”此题在运用“速度分解法”时，学生特别容易出现如图6所示的分解方法。把vC分解到两根绳子的方向，分别为v1和v2。根据对称性，得到12vv。在合速度vC和分速度v1、v2所构成的矢量三角形中，根据正弦定理，有：v图32vv物1vOABC2d图4vvOOABC2d图5vvOODEABC2d图6vvOO1vCv2v1102cossinsin(1802)CCvvvv。又由于v1沿绳子的方向，所以v1=v，则：2cosCvv。而这一结果是错误的，那问题出在哪里呢？那是因为想当然的认为v1等于v了。v等于绳子缩短的速度，但v1不等于绳子缩短的速度，因为v2还会影响到绳子缩短的速度。关于这一点，我们可做如下讨论以证明。把2v分解到到绳子OC方向和其垂直方向，分别为2v和2v，如图7所示。此时可看出，1v和2v在绳子OC方向，而2v与该方方向垂直，绳子OC方向的运动和垂直绳子OC方向的运动具有独立性，互不影响，绳子OC方向的速度体现了绳子OC的缩短快慢，其大小为21vv，垂直绳子OC方向的速度2v反映了绳子OC绕O点旋转的快慢。绳子OC的缩短等于A的下降速度，即21vvv。学生出现这一错误，主要是如下原因：想当然的把力的分解应用到速度分解中，而对运动的特点及各方向运动的互相影响不加以考虑。当然，把Cv沿OC和CO分解为v1和v2的这种分解方式是正确的，只是但所得到的分速度与已知的速度v之间没有直接的关系，所以代入v1=v计算就出错了！可以根据运动的效果对vC进行分解，C物体向上运动的同时使得绳子缩短，也就是在径向向O运动，同时绕O转动，那么把Cv分解到沿OC方向和垂直于OC方向，得到v1和v2，如图8所示。同时，v1和v2也使得绳子CO在缩短和旋转。此时在合速度和分速度所构成的矢量三角形中，可得1cosCvv，由于1v为径向速度，与切向速度2v无关，故1vv，所以cosCvv，即cosCvv。对于此题，我们还可以借用下面这一道十分常见的题的思想，这对学生的理解十分有帮助。ABC2d图8vvOO1vCv2vABC2d图7vvOO1v2v2v2v实例：如图9所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。由于B的质量比较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A上升到与竖直杆成角的位置时，B的速度为v，此时A环上升的速度vA为多少？解析：该题当然也可以用“微元法”求解，但如果用“速度分解法”求解此题，A物体的分速度能够很好的反映其运动的实际效果。Av沿杆竖直向上，这一运动达到两个效果：AO绳的缩短快慢和AO绳绕O点的旋转快慢。这两个运动是互相独立的。把Av沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解得到v1和v2，如图10所示。在速度的矢量三角形中，1cosAvv，由于绳AO的缩短和绳OB的伸长速度是相同的，故1vv，可得：cosAvv。讨论完实例，对于例2，我们可以把C物体想象为套在一光滑竖直杆上，同时去掉右边的B物体，这时A、C的运动情况是相同的，再把Cv用例3的方法进行分解，可得如图11所示的情况。可以很容易得到cosCvv。其实，在例2中，绳OC和绳OC对球是分别互相束缚，一边使小球运动，另一边把小球的运动约束在竖直方向。在类似的连接体问题中，合速度的判断特别重要，对于初学这一内容的同学而言，容易犯错误，需要强调物体实际运动的速度为合速度。当学生对“微元法”十分熟悉时，在对分解有疑问的情况下，用“微元法”进行求解，一般不会出错。当然，运用“速度分解法”解决问题，可以使解答过程变得十分简洁，但在分解时，要注意根据运动的效果进行分解，使得分速度能够完全的描述物体的物理意义，或者分速度与已知的条件存在明显的直接关系，以利于计算。参考文献张志峰，《巧用速度投影定理解决绳杆连接体速度问题》，CN61-1033/G4，《中学物理教学参考》，2008年第4期，P27BAO图9BAO图10Cv1v2vCvAC2d图11vOO1v2v