关于高等几何教学中的若干问题的探讨

高等几何教学中的若干探索摘要：本文结合教学实践，对高等几何教学中如何通过改进教学内容、教学方法来激发学生的学习兴趣、调动学生的学习主动性以及培养学生的独立思考能力等问题进行了探讨。关键词：高等几何；启发式教学；主动学习；教学效果中图分类号：O18;G642.0目前，高等师范院校的数学教育正进行着新的一轮改革高潮，其中教学改革是核心，而学生学习兴趣的激发、探索精神与创新意识的培养则是教学改革关注的焦点问题。笔者将结合高等几何的教学实践，对高等几何教学中如何通过改进教学内容、教学方法来激发学生的学习兴趣、调动学生的学习主动性以及培养学生的探索精神与创新意识进行探讨。一、激发学生的学习兴趣学习兴趣是学生真正能从一门课程中学到东西的前提条件，因而如何激发和培养学生的学习兴趣应该是教师始终需要考虑的问题。激发学生的学习兴趣，每次课的引入很关键，好的引入能很快唤起学生听课的兴趣。一般来说，一次课的引入一定要把这次课需解决的问题交代清楚，同时还应该介绍一下解决该问题的思想方法。至于如何通过背景知识的介绍、问题的提出、思想方法的提点有效地激发起学生的求知欲正是教师需要精心准备和设计的。高等几何是高等院校数学系的一门基础课程之一，但由于其内容相对陈旧，对后继课程的影响不大，所以学生对这门比较难学的课程缺乏学习兴趣和学习热情。在这种情况下，使学生在接触这门课程之初就对它产生好奇心和兴趣就显得格外重要。如何做到这一点呢？由于介绍几何学的发展史有助于学生对几何学的来龙去脉有一个清晰的认识[3]，对几何学有一个宏观的了解。所以第一次课可以向学生讲几何学的发展史，力图使学生明白几何学是如何产生的，怎样发展的，对于“什么是几何学”这一问题在几何学发展的不同历史时期，人们有着怎样不同的理解；作为高等几何的主要内容——射影几何，它又是怎样产生的，它的产生发展在整个几何史上处于一个什么位置，如今我们来学它，价值何在？接下来，可以将高等几何这门课中一些比较有意思、比较吸引人的地方提前展现给学生，让他们产生想去学这门课的愿望。例如，“对偶”——它不仅具有美感，而且是一种重要的思想方法。在数学的许多课程里都能看到它的身影，但如此集中地讲到对偶，就非高等几何莫属了。我们可以让学生在第一堂课就感受到对偶的“美”。自然界和人类社会中互为条件、相互依存的事物均可看作是“对偶”的例子。可以先向学生举这方面的例子，比如：南极、北极；潮涨、潮落；阴与阳；美与丑；善与恶；生与死等等。还让学生也参与进来一起想例子，事实上，他们很乐意这样做。接着指出高等几何中也有很多“对偶”，比如点与直线就是一对对偶元素。以前学的几何都是点几何，基本元素是点，图形都是点的轨迹；在高等几何里，我们将学到点几何的对偶——线几何，它的基本元素是直线，图形都是由直线包络而成。比如椭圆，在点几何中，它是点的轨迹(如图①)；在线几何中，它则是一簇直线(如图②)。一个点在点几何中是基本元素(如图③)，在线几何中则是一束通过该点的直线束(如图④)。.①②③④然后让学生分别用点几何的观点和线几何的观点来考察一条直线，这个问题难度适中，经过思考学生能回答得出。这个过程使他们觉得高等几何并不难，还比较有趣。最后可以向学生介绍高等几何这门课程的总体框架、结构以及主要思想方法，其目的在于带领学生俯瞰一下高等几何这片“森林”，使学生的学习有一个明确的目标意识，增强学生学习的自觉性和能动性。这些内容都讲清楚往往需要一次课的时间，但是花这个时间是值得的，因为这样处理高等几何的第一次课可以够唤起学生的求知欲，使学生产生学习兴趣，而学习兴趣是学好一门课程的关键。二、培养学生的探索精神现代教育把主动学习作为教学的最重要原则之一[4]，所谓主动学习，是指学生在学习过程中常处于一种自觉能动的状态[5]。所以我们每一次的教学活动都要想办法发挥学生的学习积极性，主动性，要尽可能创造机会让学生体验探索过程所特有的喜悦。比如在引入二维齐次射影坐标时，不妨通过回忆仿射平面上的齐次坐标的定义，引导学生自己给出定义，结果学生会兴趣盎然地参与到给二维齐次射影坐标下定义的行列中来。下面是二维非齐次射影坐标的定义。记直线OY，OX，XY为1a，2a，3a；XE，YE，OE为1d，2d，3d；XP，YP，OP为1P，2P，3P，若点P在直线XY以外，令x=),(11OXEP，y=),(22OYEP，称(x,y)是P点的非齐次射影坐标。直线XY上的点没有非齐次射影坐标。需要引入齐次射影坐标，下面是课本上的定义[1][2]。令),(11321pdaa，),(22132pdaa，),(13213pdaa，并且1321.定义：如果三个数1x，2x，3x，满足123xx，231xx，312xx，则称),,(321xxx为点P的齐次射影坐标。这个定义不直观、不自然，学生比较难接受。如果直接把这个定义灌输给学生，不仅枯燥乏味，而且由于不理解，很快就会忘掉。我们可以采取下面的方式引导他们思考：通过回忆仿射平面上二维齐次仿射坐标，进行类推，鼓励学生自己定义二维齐次射影坐标。1．仿射平面上，普通点P(x,y)的二维齐次坐标),,(321xxx是指任意满足31xx=x，32xx=y的三个数1x，2x，3x，其中3x不为0。2．方向系数为的方向上的无穷远点为)0,,1(。3．当方向系数为无穷时，即y轴：x=0，它上面的无穷远点规定为(0,1,0)。对于以上三点，引导学生在射影平面上作类似的思考。1．对应于上面的1，我们可以怎样类似地定义呢？对于直线XY以外的点P(x,y)的齐次坐标),,(321xxx是指任意满足31xx=x，32xx=y三个数1x，2x，3x，其中3x不为0。2．由上面的2，无穷远直线上不同的点由方向系数来区分，齐次坐标因而也由来决定；那么直线XY上的点如何区分呢？有没有类似于方向系数的东西呢？先看x，y与1，2，3有什么关系：222132231312211),(),(),(),(pdaadpaaaadpOXEPx，111323211221),(),(),(dpaaaadpOYEPy3211xy3就是我们要找的，用以区分直线XY上不同点！于是直线XY上的点的齐次坐标可以表示为)0,,1(3。3.对应于上面的3，XY上的满足x=0的点，对应着点Y，规定点Y的坐标为(0,1,0)。可以看出这时的),(33213pdaa，由于3p与1a重合，3。在这样的引导和启发下，学生愉快地完成了二维齐次射影坐标的定义，还体验到了探索成功的喜悦。学生定义完成后再让他们比较自己的定义与书上的定义的异同，他们会发现这个定义与课本上的定义形式虽不同，本质却是一样的。然而这一过程无疑加深了他们的理解。这样的教学过程是启发式、讨论式的教学，这种教学方式不仅能使学生很好地掌握知识本身，更重要的是对培养学生的学习兴趣和探索钻研精神很有益处。在时间许可的情况下，教师要尽可能地使用启发式、讨论式的教学。三、鼓励独立思考，培养创新意识高等教育的根本目的是为社会培养具有创新意识和能力的高素质年轻人才。而要具有创新意识，关键的一点是要不迷信权威，能独立思考问题。而要培养学生独立思考问题的习惯，教师应该鼓励学生多置疑、多提问题。面对教材，在必要时也要勇于、善于提出问题，还可以鼓励学生尝试用自己的方法证明书上的定理，如有必要，对定理本身也可以作些“小手术”。配极原则是高等几何的教学重点之一，它在射影几何中有着的广泛应用。课本上配极原则的表述方式在实际运用时不太方便，如果换一种表达的话，效果会更好。所以，在处理这一节内容时，我先让学生课前预习，并布置一道需用配极原则的证明题作为作业，建议他们试着改进“配极原则”的表述方式和证明。课本上是这样表述配极原则的：如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点。[1][2]此定理可由一种点线结合关系推出另一种点线结合关系。定理的条件中的结合关系涉及到两个点以及其中一点的极线一共三个元素。在实际问题中，一般是已知一个点线的结合关系，它仅涉及两个元素，故在运用此定理时，需将直线看成某一点的极线，并把那个点设出来，由两个元素转化成三个元素才可以运用，这样自然就多一道手续，不怎么方便。改进的表述：若点Q在直线p上，则点Q的极线通过直线p的极点。这种表述方式，定理的条件是一个点与一条直线的结合关系，结论则给出了这个点的对偶——该点的极线，与这条直线的对偶——该直线的极点之间的结合关系。即由配极原则，可以由一个点线结合关系推出它们的对偶元素之间的点线结合关系，这种表述方式也体现了对偶的美，而且运用起来更方便、自然。经过预习、作题目，一些学生能够完成布置的任务，表现出一定的自学能力，他们对“配极原则”有初步的了解，也能体会应用过程中存在的问题。所以课堂上当我给出改进表述后的“配极原则”，并且举若干个应用的例子进行比较分析后，只见下面的同学纷纷点头，教学效果很不错。在师生共同的努力下，在高等几何的整个教学过程中，师生合作得都很愉快，课堂气氛一直比较活跃，学生的学习积极性被调动起来了。令人欣慰的是不少同学还表现出很强的独立思考的能力：有些同学能提出较高质量的问题，迫使我更深入的思考；对于书上的定理，他们有时能够给出自己更好的证明；对于课后的习题，有些学生给出的解法，我还不曾想到。在教学过程中如何激发学生的学习兴趣、培养学生的独立思考能力是值得我们不断探索的课题。因为我们的高等教育担负着培养学生探索精神、创新能力的责任，而一个人学习、探索的最大的原动力是兴趣，是一种出自于人的好奇和好胜的本性的内蕴动力[4]，这种内蕴动力会创造出奇迹。我们的学生是可以创造奇迹的，只要我们教师不断地用心地去探索好的教学方法，而这个过程将永无止境。参考文献：[1]梅向明等.高等几何[M].北京:高等教育出版社，2001,78～84,113～114.[2]朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社，1983,70～73,101～103.[3]周兴和.高等几何[M].北京:科学出版社出版，2003,149～168.[4]曹之江.论优秀的数学教学[J].中国大学教学，2005.(10).11～13[5]曹之江.漫谈数学科学的教学研究［J].大学数学.2004.20(4).13～14ThecanvassingofsomeproblemsintheteachingofhighergeometryAbstract:Byinstancesoftuition,wecanvassthefollowingproblemsinthispaper,suchashowtoarousethestudents’interestofstudyingandhowtodeveloptheirabilityofthinking,byimprovingthecontentsandmethodsofteaching.KeyWords:highergeometry;heuristics;studying;theeffectofteaching