关注新课标形势下统计与概率试题的变化

1关注新课标形势下统计与概率试题的变化一、背景展示1．国际背景上个世纪八、九十年代，欧美、日本、台湾、香港等国家和地区相继把统计与概率初步列为中学数学的必修课程.2．国内形势改革开放，市场经济替代计划经济，生活已先于数学课程把统计与概率推到了学生的面前.高新技术、大量信息使人们面临更多的机会与选择，常常在不确定的情境中，根据大量无组织的数据进行收集、整理和分析，为了更好地制定决策提供依据和建议，所以了解和掌握统计和概率的初步知识是每一个现代公民都应当具备的基本素质.结论：在这种不可避免的国际、国内趋势下，我国于2001年7月出版的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》也从第一学段开始便对统计与概率的教学目标作了具体的界定.《标准》在总体目标中就提出要使学生“经历运用数据描述信息，作出推断的过程，发展统计观念.”二、比较分析“统计与概率”作为一个特定的领域列入课程，数学中的随机现象成为中小学生的必修内容，许多数学教育工作者为此呼吁了几十年，今天终于成为现实（华东师大张奠宙先生语）.下面就中华人民共和国教育部制定的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（七～九年级）（以下简称标准）和原浙江省教育委员会制定的《初中数学教学指导纲要（试用）》（以下简称纲要）有关统计与概率内容，它们各自的教学目标、教学地位、教学内容、教材中的分布、中考（学业考试）中占总体的比例、分值、题型等加以比较.1．教学地位标准：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用，统计与概率是独立的一个模块.纲要：代数（统计与概率）、几何.统计与概率隶属于代数.2．教学目标标准：知识与技能从事收集、描述、分析数据、作出判断并进行交流的活动，感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想，掌握必要的数据处理的技能；进一步丰富对概率的认识，知道频率与概率的关系，会计算一些事件发生的概率.数学思考能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测.2纲要：理解统计和概率中的一些主要概念，会画简单的统计图，会计算平均数、方差和标准差和简单的随机事件的概率.3．教学内容标准与纲要相比较在统计方面要加强的内容有如下10个方面：①增加收集、整理、描述和分析数据；②重视对抽样必要性的感受；③重视对不同的抽样可能得到不同的结果的体会；④增强用计算器处理统计数据；⑤重视用样本估计总体思想的体会，用样本平均数和方差估计总体的平均数和方差；⑥重视统计量的选择——选择合适的统计量表示数据的集中程度；⑦新增极差的概念；⑧重视频数分布的意义和作用；⑨重视列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图及其应用；⑩重视统计知识的应用——根据统计结果进行判断和预测，体会统计对决策的作用；能从有关实际问题的资料中获得数据信息，对日常生活中的某些数据发表自己的看法.要求降低的方面：画频率分布直方图没有要求.概率方面要求加强的有：①重视对概率意义的了解；②增强用频率来估计事件发生的概率.4．教材中的分布标准：在主流教材（北师大、华师大）七～九年级每册都有一章（人教版只在四册中出现统计与概率内容）.纲要：只在第四册第十七章《统计和概率初步》一章.5．中考（学业考试）试题中的分值、百分比、题型等.统计样本：05年全国各地50套中考试卷；06年全国各地50套学业考试卷.学业考试：分值18.72分；占15.6%；题量3.34题；每套试卷中都有1～2个解答题.中考试卷：分值7.68分；占6.4%；题量1.48题；有解答题的试卷比例不高，约占15%，大多数解答题也是以填空题的形式出现.通过以上统计发现“数与代数”、“空间与图形”两大领域还是学业考试的重点（实践与综合应用是渗透在其它三个模块之中），统计与概率领域的试题通常为低、中档题，一般都有现实情境，有时也渗透到高档题，个别省市甚至把统计与概率作为学业考试的压轴题.所以我们有必要关注新课标形势下统计与概率试题的变化.3三、关注近几年统计与概率试题的变化1．关注统计量的问题与背景统计量的认识和理解是统计观念的基础，统计量主要有众数、中位数、平均数、极差、方差、标准差等组成，统计量的作用是表示数据的集中程度和离散程度.《标准》对统计量的学习提出“正确理解数据的意义，能够结合实际问题的需要有效地表达数据特征，会根据结果做合理的预测要求”.用统计量作为题眼设计具有实际背景的试题，既可以考查统计量的计算，又可以通过样本统计量对实际问题进行估计、判断和预测.例1．表1是近六届奥运会中国代表团获得金牌数一览表表1第23届第24届第25届第26届第27届第28届15块5块16块16块28块32块在这组数据中，众数是___________，中位数___________，平均数___________.（限于篇幅，以下各题解答均省略）评注：利用中国体育代表团在奥运会获得金牌的问题背景，既可以考查众数、中位数、平均数的概念及计算，又可以从统计量的变化感受到中国体育取得的进步，体现了数学教育的育人功能，增强了民族自信心.例2．（06年辽宁大连）某社区要调查社区居民双休日的学习状况，采用下列调查方式：①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；②从不同住宅楼中随机选取200名居民；③选取社区内200名在校学生．（1）上述调查方式最合理的是；（2）将最合理的调查方式得到的数据制成扇形统计图（如图1）和频数分布直方图（如图2）．在这个调查中，200名居民双休日在家学习的有人；（3）请估计该社区2000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数．评注：本题首先考查统计中选取样本的合理性，然后通过样本去统计总体，培养统计观图10-1不学习10％在家学习60％在图书馆等场所学习30％图１在家学习在图书馆等场所学习人数(人)时间(小时)图10-2503624161410686420图24念.新课程标准在注重考查基础知识和基本技能的同时，强调具有的问题背景和实际意义，关注其呈现方式的合理性，关注学生学习过程中的理解和应用.利用实际问题考查统计量的确定和计算及对统计概念的准确把握，就是这种理念的反映，这启示我们的学生既要掌握相应的知识技能，又要重视实际问题中的信息处理能力，学会运用统计策略解决实际问题.2．关注统计图表的理解与运用新课程标准不但强调统计图表信息的表示，也强调统计图表的信息交流和问题转换.统计图表是整理数据的常用手段，也是生活中数据表示的常用形式，这其中既有数据整理的方法，也有信息表达、传递的方式.条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数分布直方图、频数折线统计图和频数分布表等，既可以考查技能，又可以用新的方式呈现问题，这在实验区的学业考试中有较多体现.例3．（06年广西南宁）某城区举行“八荣八耻”演讲比赛，中学组根据初赛成绩在七、八年级分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图3所示：根据图3和右表提供的信息，解答下列问题：（1）请你把右边的表格填写完整；（2）考虑平均数与方差，你认为年级的团体成绩更好些；（3）假设在每个年级的决赛选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强一些，请说明理由．评注：统计图表的考查重在对信息的理解.解决与统计图表有关的实际问题时，要根据不同统计图的特点回答问题，本题有较强的现实意义和时代感.例4．（06年北京市）根据北京市统计局公布的2000年，2005年北京市常住人口相关团体成绩众数平均数方差七年级85.739.6八年级85.727.815数据，绘制统计图表如下：年份大学程度人数（指大专及以上）高中程度人数（含中专）初中程度人数小学程度人数其他人数2000年2333204752341202005年362372476212114请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题：（1）从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？（2）2005年北京市常住人口中，少儿（014岁）人口约为多少万人？（3）请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法．评注：统计图表提供的信息量大，解决这类问题的关键是对文字语言和图表信息阅读理解的能力，正确处理部分和整体，已知和未知的关系.统计图表的运用使试题既具有直观的特点，又提供了多维的信息通道，体现了数学与生活的密切联系及不同的问题转换方式.这既是学习内容的产物，也是考查方式变化的必然趋势.3．关注学生考评中的价值观与感受新课程标准强调知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的三维目标.由于统计问题具有贴近学生、贴近生活的特点，可以在考查知识技能的同时，考查学生解决问题过程中的方式方法，以及在解释现象、回答问题时的情感态度、价值观.例5．（06年辽宁省沈阳市）学校鼓励学生参加社会实践，小萌所在班级的研究性学习小组在假期对她们所在城市的一家晚报的读者进行了一次问卷调查，以便了解读者对该种报纸四个版面的喜欢情况．她们调查了男女读者各500名，要求每个读者选出自己最喜欢的一个版面，并将得到的数据绘制了下面尚未完成的统计图．男读者女读者人数40035030025020015010050百分比（%）5040302010303230481218图4图56（1）请直接将图6所示的统计图补充完整；（2）请分别计算出喜欢各版面的总人数，并根据计算结果利用图7画出折线统计图；（3）请你根据上述统计情况，对该报社提出一条合理化建议．评注：用统计图中的信息进行分析、判断和解释，反映出新的考试特点，体现了新课程标准在评价上的特色.4．关注概率与数学其它分支的联系基础教育课程改革的目标之一就是改变课程结构过于强调学科本位、门类过多和缺乏整合的现状，使课程结构更加具远均衡性、综合性和选择性.例6．（06年安徽省芜湖市）抛掷红、蓝两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将红色和蓝色骰子正面朝上的编号分别作为二次函数2yxmxn的一次项系数m和常数项n的值．（1）问这样可以得到多少个不同形式的二次函数（只需写出结果）？（2）请求出抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象顶点恰好在x轴上的概率是多少？并说明理由．例7．（06年福州市）如图8．创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆组成，其中阴影部分铺黑色石子，其余部分铺白色石子．小鹏在规定地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过多次试验，发现落在一、三、五环(阴影)内的概率分别是0.04,0.2,0.36，如果最大圆的半径是1米,那么黑色石子区域的总面积约为米2（精确到0.01米2）.评注：近几年的概率考题的题型也是精彩纷呈，从原来比较常见的摸球、扑克牌、骰子、转盘、翻硬币等跳了出来，命题形式也越来越活泼多样，更加强调学科之间的渗透和整合.图875．关注概率统计和数学思想方法的融合与渗透数学思想方法是数学的灵魂和精髓.中学概率统计中数学思想可分为特有的数学思想方法和一般的数学思想方法，其中特有的数学思想主要是随机思想、统计调查思想、统计描述思想、统计推断思想等；一般的数学思想主要有方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数建模思想、整体代换思想、等价转化思想等等.例8．(2006年湖北省汉川市)小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC.为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：你能否求出封闭图形ABC的面积？试试看.评注：以学生喜闻乐见的游戏作为载体的概率统计试题，近几年频频出现在学业考试中，游戏之中渗透融合了数学思想——数形结合.同时又考查了频率与概率的关系.大量重复实验时的频率可作为事件发生的概率的估计值.例9．（2005年四川省资阳市）甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次都未投进，该局也结束；③计分规则如下：a．得分为正数或0；b．若8次都未投进，该局得分为0；c．投球次数越多，得分越低；d．6局比赛的总得分高者获胜.（1）设某局比赛第n（n=1，2，3，4，5，6，7，8）次将球投进，