内蒙古赤峰市宁城县2015届高三数学上学期摸底统考试卷理(含解析)

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站届高三上学期摸底统考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|y=lnx}，集合B={x∈Z||x|≤2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{1，2}C．（0，2）D．{0，1，2}2．（5分）已知a=，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a3．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p是（）A．∃x∈R，sinx≥1B．∃x∈R，sinx＞1C．∀x∈R，sinx≥1D．∀x∈R，sinx＞14．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°5．（5分）已知（x﹣）6的展开式中常数项为﹣160，则常数a=（）A．B．﹣C．1D．﹣16．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．7．（5分）设l，m，n表示三条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①若l∥m，l⊥α，则m⊥α；②若m⊆β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若l⊥α，α⊥β，则l∥β；④若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m．其中真命题为（）A．①②④B．①②③C．①③D．①②③④8．（5分）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．（5分）运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素α，则函数y=xαx∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣4，4]11．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），当0≤x≤1时，f（x）=x2，如果函数g（x）=f（x）﹣（x+m）有两个零点，则实数m的值为（）A．2k（k∈Z）B．2k﹣（k∈Z）C．2K或2K+D．2K或2K﹣（k∈Z）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）若复数z满足（i是虚数单位），则z=．14．（5分）某校举行的数学建模比赛，全体参赛学生的比赛成绩ξ近似服从正态分布N（70，σ2），（σ＞0），参赛学生共600名．若ξ在（70，90）内的取值概率为0.48，那么90分以上（含90分）的学生人数为．15．（5分）已知x，y满足条件，则x﹣2y的最小值为．16．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜2．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：C1D⊥平面BDC；（Ⅱ）求二面角C﹣BC1﹣D的余弦值．19．（12分）为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：新能源汽车补贴标准车辆类型续驶里程R（公里）80≤R＜150150≤R＜250R≥250纯电动乘用车3.5万元/辆5万元/辆6万元/辆某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了M辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：分组频数频率80≤R＜15020.2150≤R＜2505x文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站≥250yz合计M1（Ⅰ）求x，y，z，M的值；（Ⅱ）若从这M辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率；（Ⅲ）若以频率作为概率，设X为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X的分布列和数学期望EX．20．（12分）已知点M是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别为C的左右焦点，|F1F2|=2，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点F2的直线l和椭圆交于两点A，B，且=2，求直线l的方程．21．（12分）已知，函数f（x）=．（1）如果x≥0时，f（x）≤恒成立，求m的取值范围；（2）当a≤2时，求证：f（x）ln（2x+a）＜x+1．四、选做题（本小题满分30分.请考生22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，直线切⊙O于点，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（I）求证：△ABE≌△ACD；（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求AE．23．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．24．（10分）若a，b，c∈R+，且a2+b2+c2=1，求证：﹣≤ab+bc+ca≤1．内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|y=lnx}，集合B={x∈Z||x|≤2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{1，2}C．（0，2）D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求解对数函数的定义域化简集合A，然后直接利用交集运算求解．解答：解：A={x|y=lnx}=（0，+∞），B={x∈Z||x|≤2}，则A∩B=（0，+∞）∩{x∈Z||x|≤2}={1，2}．故选：B．点评：本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域的求法，是基础题．2．（5分）已知a=，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：判断a、b、c与1，0的大小，即可得到结果．解答：解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查函数值的大小比较，基本知识的考查．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p是（）A．∃x∈R，sinx≥1B．∃x∈R，sinx＞1C．∀x∈R，sinx≥1D．∀x∈R，sinx＞1考点：特称命题；命题的否定．专题：计算题．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站分析：根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为∃x∈R，使得sinx＞1．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：∀x∈R，sinx≤1的否定是∃x∈R，使得sinx＞1故选B．点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题4．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：先根据a2=b2+bc+c2，求得bc=﹣（b2+c2﹣a2）代入余弦定理中可求得cosA，进而求得A．解答：解：根据余弦定理可知cosA=∵a2=b2+bc+c2，∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）∴cosA=﹣∴A=120°故选A点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．5．（5分）已知（x﹣）6的展开式中常数项为﹣160，则常数a=（）A．B．﹣C．1D．﹣1考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于﹣160求得实数a的值．解答：解：由于（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣2a）r•x6﹣2r，零6﹣2r=0，求得r=3，可得展开式的常数项为•（﹣8a3）=﹣160a3，再根据展开式中常数项为﹣160，可得﹣160a3=﹣160，求得a=1，故选：C．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．解答：解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．7．（5分）设l，m，n表示三条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①若l∥m，l⊥α，则m⊥α；②若m⊆β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若l⊥α，α⊥β，则l∥β；④若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m．其中真命题为（）A．①②④B．①②③C．①③D．①②③④考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面垂直的第二判定定理可判断①；根据三垂线定理可判断②；根据线面垂直，面面垂直，线面平行的几何特征可判断③；根据线面垂直的性质可判断④；解答：解：若l∥m，l⊥α，则根据线面垂直的第二判定定理可得：m⊥α，即①正确；若m⊆β，n是l在β内的射影，m⊥l，则由三垂线定理可得：m⊥n，即②正确；若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，即③错误；若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又由m⊂β，则l⊥m，即④正确；故真命题为①②④，故选：A点评：本题给出立体几何中几个例子，要我们找出其中的假命题，着重考查了空间直线与平面、平面与平面的垂直、平行位置关系及其判定等知识，属于基础题．8．（5分）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．解答：解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素α，则函数y=xαx∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：图表型．分析：先根据流程图进行逐一进行运行，求出集合A，再求出基本事件的总数，然后讨论满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”时包含基本事件，最后根据古典概型公式求出该概率即可．解答：解：由框图可知A={3，0，