几何概型教案

1学科数学必修3时间2013.12.13班级二（8）班姓名【学习目标】1.正确理解几何概型的概念及其特点.2.掌握几何概型的概率公式.3.会根据几何概型与古典概型的区别和联系来判别某种题型是古典概型还是几何概型.4.会进行简单的几何概型的计算.【重点、难点】1.重点：几何概型概念的理解和公式的运用；2.难点：把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题。几何概型与古典概型的异同概率类型不同点相同点几何概型试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个每个基本事件出现的可能性一样，即满足等可能性古典概型试验中的所有可能出现的结果只有有限个【预习检测】1.在区间[-1，2]上随机取一个数，则的概率为13.2.如图，小球随机的掉到木板上，木板面积是中间图形面积的4倍,求小球掉在中间图形区域内的概率_______14______。3.一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有0,1,2,3,4的数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间[2,3]上的概率______15_______。112233440011223344002【学习过程】命题方向1与长度有关的几何概型问题P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度[例1]如图，A、B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C、D，B与C、D之间的距离都不小于10米的概率是多少？[解析]记事件E：“A与C、D，B与C、D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×13＝10(米)，所以P(E)＝1030＝13.跟踪练习1.某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率．[解析]设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10.如图所示．记等车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上时，事件A发生，区域T1T2的长度为15，区域T1T的长度为5.所以P(A)＝T1T的长度T1T2的长度＝515＝13.答：乘客等车时间大于10分钟的概率是13.命题方向2与面积有关的几何概型问题P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积[例2]如图在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m远向此板投镖．设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：3(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？设事件A＝“投中大圆内”；B＝“投中小圆与中圆形成的圆环”，C＝“投中大圆之外”．μΩ＝S正方形＝162＝256(cm2)μA＝S大圆＝π×62＝36π(cm2)μB＝S中圆－S小圆＝π×42－π×22＝12π(cm2)μC＝S正方形－S大圆＝256－36π(cm2)．由几何概率公式得：(1)P(A)＝μAμΩ＝36π256＝9π64，(2)P(B)＝μBμΩ＝12π256＝3π64，(3)P(C)＝μCμΩ＝256－36π256＝1－9π64.跟踪练习2.向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于S2的概率是________．[解析]如图，设△ABC的边BC上的高为AD，EF为△ABC的中位线，则当P点到底边BC的距离小于12AD，即P点落在梯形BEFC中时，△PBC的面积小于S2，记“△PBC的面积小于S2”为事件A，则由几何概型的概率公式得P(A)＝341＝34.4命题方向3与体积有关的几何概型问题P(A)＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.[例3]有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率．[解析]记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵小瓶中有0.1升水，原瓶中有1升水，∴由几何概型求概率的公式得P(A)＝0.11110跟踪练习3.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，在正方体内随机取点M.(1)求M与面ABCD的距离大于a3的概率；(2)求M与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于a3的概率．[解析]V正方体＝a3.(1)所求概率为23a3a3＝23.(2)所求概率为13a3a3＝13.【当堂检测】1.(2012·高考湖北卷)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(A)A．1－2πB.12－1πC.2πD.1π5解析：连接AB，由S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC可求出空白部分面积．设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2.如图，连接AB，由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝12×2×2＝2.又因为S扇形OAB＝14×π×22＝π，所以S阴影＝π－2.所以P＝S阴影S扇形OAB＝π－2π＝1－2π.2.在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM||AC|的概率．[错解]在AB上取点C′，使AC′＝AC.在∠ACB内作射线CM看作在线段AC′上任取一点M，过C、M作射线CM，则概率为AC′AB＝ACAB＝22.[辨析]虽然在线段AC′上任取一点M是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，尽管点与射线是一一对应的，因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性．6[正解]在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM在任何位置都是等可能的．在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝67.5°，故满足条件的概率为67.590＝0.75.[点评]如图在角AOB内任意作射线，则射线落在∠BOR内的概率是一定的，但CMAC，DRAD，BNBE的值是变化的．【小结】一．用几何概型解简单试验问题的方法1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型；2)把全部基本事件转化为与之对应的区域D；3)把随机事件A转化为与之对应的区域E；4)利用几何概型概率公式计算。二．古典概型与几何概型的异同：同：两种模型的基本事件发生的可能性都相等；异：古典概型要求基本事件是有限个，而几何概型则要求基本事件有无限多个课后练习案（高考链接）1.(2011·高考湖南卷)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为___5_____；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为___16_____72.(2012·高考北京卷)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(D)A.π4B.π－22C.π6D.4－π4【解析】如图，平面区域D是面积为4的正方形，D内到坐标原点的距离大于2的点所组成的区域为图中阴影部分，其面积为4－π，故此点到坐标原点的距离大于2的概率为4－π4，故选D.3.(2012·高考辽宁卷)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为(C)A.16B.13C.23D.45解析：设AC＝x，BC＝12－x(0＜x＜12)．面积S＝x·(12－x)＞20，解得2＜x＜10，∴矩形面积大于20cm2的概率为10－212＝23.84.(2011·高考福建卷)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(C)A.14B.13C.12D.235.(2013·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．