2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.若,,abc均为整数且满足1010()()1abac，则||||||abbcca（）A．1.B．2.C．3.D．4.【答】B.因为,,abc均为整数，所以ab和ac均为整数，从而由1010()()1abac可得||1,||0abac或||0,||1.abac若||1,||0,abac则ac，从而||||||abbcca||||||2||2abbaaaab.若||0,||1,abac则ab，从而||||||abbcca||||||2||2aaaccaac.因此，||||||abbcca2.2．若实数,,abc满足等式23||6ab，49||6abc，则c可能取的最大值为（）A．0.B．1.C．2.D．3.【答】C.由两个已知等式可得32(3),||(2)55acbc，而||0b，所以2c.当2c时，可得9,0ab，满足已知等式.所以c可能取的最大值为2.3．若ba,是两个正数，且,0111abba则（）A．103ab.B．113ab.C．413ab.D．423ab.【答】C.由1110abba可得bababa22，则2()()()(1)ababababab①由于ba,是两个正数，所以,0ab0ab，所以10ab，从而.1ba另一方面，由22()()44abababab可得4)(2baab，结合①式可得14abab，所以.34ba因此，413ab.4．若方程2310xx的两根也是方程420xaxbxc的根，则2abc的值为（）A．－13.B．－9.C．6.D．0.【答】A.设m是方程2310xx的一个根，则2310mm，所以231mm.由题意，m也是方程420xaxbxc的根，所以420mambmc，把231mm代入此式，得22(31)0mambmc，整理得2(9)(6)10ambmc.从而可知：方程2310xx的两根也是方程2(9)(6)10axbxc的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有22(9)(6)1(31)axbxckxx（其中k为常数），故961131abc，所以333,10baca.2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）因此，2(333)2(10)13abcaaa.5．在△ABC中，已知60CAB，D，E分别是边AB，AC上的点，且60AED，CEDBED，CDECDB2,则DCB()A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.【答】B.如图，延长AB到F，使BF=ED，连CF，EF．∵60AEDEAB，∴60EDA，120CEDEDB，BFEDAEAD，DFBFDBDBEDCE，于是，AFAC，60AFCACF．又∵120EDB，CDECDB2，∴80,40CDBCDE,20180EDCCEDECD．在△CDA和△CBF中，CA=CF，60CFBCAD，AD=BF，∴△CDA≌△CBF，∴20ACDFCB．于是，2060FCBCDEDCB．6．对于自然数n，将其各位数字之和记为na，如2009200911a，201020103a，则12320092010aaaaa（）A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.【答】D.把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果n不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变na的值）.1在千位上出现的次数为310，1在百位上出现的次数为2210，1在十位和个位上出现的次数均为22101，因此，1出现的总次数为3210210321602.2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为2210，2在个位上出现的次数为22101，因此，2出现的总次数为21121031612.类似的，可求得(3,4,5,6,7,8,9)kk出现的总次数均为221031601.因此12320092010160216122601(3456789)aaaaa＝2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,xy满足方程组3319,1,xyxy则22xy.【答】13.由3319xy得2()[()3]19xyxyxy，把1xy代入，可得6xy.因此，,xy是一元二次方程260tt的两个实数根，易求得这两个实数根分别为3和2，所以22223(2)13xy.2．二次函数cbxxy2的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知ACAB3，30CAO，则c．【答】19．由题意知，点C的坐标为),0(c，cOC．设BA,两点的坐标分别为)0,(1x，)0,(2x，则21,xx是方程02cbxx的两根．由根与系数的关系得cxxbxx2121,．又30CAO，则cACABcAC323,2．于是，cACOAx330cos1，cABOAOBx332．由ccxx2219，得91c．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝5，PC＝5，则PB＝______．【答】10.作PE⊥AB，交AB于点E，作PF⊥BC，交BC于点F，设,PEmPFn，分别在△PAE、△PCF中利用勾股定理，得2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）22(5)5mn①22(5)25mn②②－①，得10()20nm，所以2mn，代入①中，得27120nn，解得13n，24n.当3n时，21mn，在Rt△PAE中，由勾股定理可得22PB10mn.当4n时，22mn，此时PEAE，所以点P在△ABC的外面，不符合题意，舍去.因此PB10.4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.【答】15.将这些球的位置按顺序标号为1，2，3，4，…….由于1号球与7号球中间夹有5个球，1号球与12号球中间夹有10个球，12号球与6号球中间夹有5个球，7号球与13号球中间夹有5个球，13号球与2号球中间夹有10个球，2号球与8号球中间夹有5个球，8号球与14号球中间夹有5个球，14号球与3号球中间夹有10个球，3号球与9号球中间夹有5个球，9号球与15号球中间夹有5个球，15号球与4号球中间夹有10个球，4号球与10号球中间夹有5个球，因此，编号为1，7，12，6,13，2，8，14，3，9，15，4，10的球颜色相同，编号为5，11的球可以为另外的一种颜色.因此，可以按照要求摆放15个球.如果球的个数多于15个，则一方面，16号球与10号球应同色，另一方面，5号球与16号球中间夹有10个球，所以5号球与16号球同色，从而1到16号球的颜色都相同，进一步可以知道：所有的球的颜色都相同，与要求不符.因此，按这种要求摆放，最多可以摆放15个球.第二试（A）一．（本题满分20分）设整数,,abc（abc）为三角形的三边长，满足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由已知等式可得222()()()26abbcac①令,abmbcn，则acmn，其中,mn均为自然数.EFPACB于是，等式①变为222()26mnmn，即2213mnmn②由于,mn均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,mn只有两组：3,1mn和1,3.mn…………10分（1）当3,1mn时，1bc，34abc.又,,abc为三角形的三边长，所以bca，即(1)4ccc，解得3c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30abcccc，解得253c.因此2533c，所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.…………15分（2）当1,3mn时，3bc，14abc.又,,abc为三角形的三边长，所以bca，即(3)4ccc，解得1c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30abcccc，解得233c.因此2313c，所以c可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.……………………20分二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.证明过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，…………10分所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.………………………………20分又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）NQIPCAMB又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.……………………………25分三．（本题满分25分）已知二次函数2yxbxc的图象经过两点P(1,)a，Q(2,10)a.（1）如果,,abc都是整数，且8cba，求,,abc的值.（2）设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程20xbxc的两个根都是整数，求△ABC的面积.解点P(1,)a、Q(2,10)a在二次函数2yxbxc的图象上，故1bca，4210aca，解得93ba，82ca.………………………………5分（1）由8cba知8293,938,aaaa解得13a.又a为整数，所以2a，9315ba，8214ca.………………………………10分(2)设,mn是方程的两个整数根，且mn.由根与系数的关系可得39mnba，28mnca，消去a，得98()6mnmn，两边同时乘以9，得8172()54mnmn，分解因式，得(98)(98)10mn.………………………………15分所以981,9810,mn或982,985,mn或9810,981,mn或985,982