伯努利方程推导.

宗燕兵1第三章流体动力学基础§3.1流体流动的描述、分类§3.2流体流动的连续性方程§3.3理想流体运动的微分方程§3.4理想流体沿流线的伯努例方程§3.5理想流体沿流线的伯努例方程§3.6粘性流体的运动微分方程宗燕兵21xdvpXxdt11yzdvpYydtdvpZzdt说明：对不可压缩的和可压缩的理想流体均适用。一般地，质量力是已知的，式中共有未知数五个：以上三个方程式，若加上连续性方程及状态方程就构成问题的完备方程组，再根据具体问题的初始和边界条件，就从理论上提供了求解这五个未知数的可能性。,,,,xyzpvvv§3.4理想流体沿流线的伯努利方程bc1aa'2c'b'C总水头线静水头线gv2/21gp/11zgv2/22gp/22z意义：反映了在重力作用下的理想不可压缩流体稳定流动中，沿同一流线上，单位重量流体具有的位能、压能和动能的相互转换和守恒关系。22vgCzp在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不鲜见，然而，伯努利家族3代人中产生了10多位数学家、科学家，出类拔萃的至少有3位。宗燕兵5宗燕兵5对于欧拉方程，考虑以下特殊条件：1.理想流体；2.稳定流动；3.不可压缩流体；4.质量力只有重力；5.质点沿一条特定流线运动。1xdvpXxdtxxxxxyzvvvvvvxyvtz0xvt稳定流动1xxxxyzvvvpXvvvxxyz两边乘以dx1xxxxyzvvvpXdxdxvdxvdxvdxxxyz一、公式推导宗燕兵61xxxzxyvvvvdxpXdvdxxdxyvxzxdx沿流线移动，流线微分方程式,,yxyzxzvdyvdzvvvddddxyxvz21()()2xxxxxxxvvvpXdxdxvdxdydzxxyzvvdvd类似的，221()21()2yzvpYdydydyvpZdzdzdzxyzdxdydzvvv宗燕兵72221()21()21()2xyzvpXdxdxdxvpYdydydyvpZdzdzdz三式相加，2222xyzvvvv（）21()()()2pppXdxYdyZdzdxdydzdxyzv0,pppdpdxdydzxyzXYZgconst稳定流下：质量力只有重力：不可压缩流：2()()2pvgdzdd宗燕兵82()()2pvgdzdd22112221122122()()()2222pvpvpvgdzddpvpvzzggpvzCg21zz积分：有或1和2——同一流线上的两点;C3—流体的重度，N/m—常数；理想流体沿流线的伯努利方程1、写出理想流体沿流线的伯努利方程2、写出理想流体在Y方向上的欧拉方程3、试从欧拉方程推导伯努利方程（要求以微元体在Y方向上的受力为例作详细推导）宗燕兵9宗燕兵10伯努利方程中各项的物理意义和几何意义bc1aa'2c'b'C总水头线静水头线gv2/21gp/11zgv2/22gp/22z22pvzCgz流体对于基准面的位置高度；单位重量流体流经该点时相对于基准面的位能。三项具有长度的量纲，表示某种高度。单位重量流体的三种不同流量形式。p流体因具有压强p而可在管中上升的高度；单位重量流体流经该点时相对于基准面的压能。22vg流体以速度v反抗重力向上自由喷射所能达到的高度；单位重量流体流经该点时所具有的动能。宗燕兵11意义：反映了在重力作用下的理想不可压缩流体稳定流动中，沿同一流线上，单位重量流体具有的位能、压能和动能的相互转换和守恒关系。22vgCzp宗燕兵1222vgCzp伯努利方程成立的5条件：1.理想流体；2.稳定流动；3.不可压缩流体；4.质量力只有重力；5.质点沿一条特定流线运动。流速大的位置压强小，流速小的位置压强大。宗燕兵13宗燕兵141.飞机升空的原理宗燕兵15例题：如图所示为一虹吸管，水从一个大容器经虹吸管流入大气中，若出口截面上流速均匀分布，试求出口处的流速及A点处流体的压强。设液面高度保持不变。解:（1）选定虹吸管的出口处为基准面，沿流线的1、2点列出伯努利方程：2112221222pvpgvzzg因为液面高度保持不变,故v1相对于v2来说可以忽略不计，即1120;avppp又宗燕兵16221221222()29.81711.7/vzzgvgzzms于是或（2）为了确定A点的压强，沿流线1点和A点列出伯努利方程：1122122AAAvgpzvgpz12222220,.AAAAvvAvAAAvvvv在A点和2点处应用连续性方程由于有，因为出口管截面上速度均匀分布，故宗燕兵17212122112532()2()211.7(1)98101.0110981029.812.3110/AAAAppvzzgvpzzpgNm（小于大气压）宗燕兵18二、伯努利方程的应用——毕托管用途：测量流场内某点流速的仪器。依据：沿流线的伯努利方程。原型:直角管两端开口，一端面向来流，另一端向上，管内液面高出水面H。A端形成一驻点（速度为0），驻点处的压力称为总压力。B点在A点的上游，与A点位于同一水平流线，不受侧管影响。BAHH000()ABpHHpH宗燕兵1920002BBApvpg2()2BABgvppgH22BABvppg22()Bvg2—动压，N/m由于运动产生的压力00()AABBppHHppH式中—总压，—静压，应用伯努利方程于A、B两点：2()2pvzCgBAHH000()ABpHHpH因为：宗燕兵20ABpp式中—总压，—静压22BABvppg22BAUvPHgB＝-P2动压，N/m2UBvgHH宗燕兵21例题:一毕托管安装在某烟道内,与毕托管连接的酒精压差计读数为h=5mm,酒精的相对密度为d=0.8,若烟气温度400℃时其重度为γg=5.13N/m3,求测点处烟气的流速。30.8109.81229.810.0055.1312.3/UvgHms宗燕兵223.5粘性流体的运动微分方程（实际流体运动的微分方程;N-S方程）基于牛顿第二定律推导了理想流体运动的微分方程——欧拉方程理想流体的伯努利方程粘性流体的伯努利方程1xdvpXxdt11yzdvpYydtdvpZzdt22pvzCg2211221222pvpvzzpggX、Y、Z：单位质量流体所受的质量力在坐标轴方向上的三个分量。应用广泛.但不能解决诸如二维流动、三维流动的问题。故还需要用粘性流体运动的微分方程。宗燕兵23增加一个粘性项1xdvpXxdt11yzdvpYydtdvpZzdt1xxdvpXTxdt11yyzzdvpYTydtdvpZTzdt实际流体的流动xyzTTT、、是作用在单位质量流体上的粘性力在x、y、z轴上的投影。N/kg下面来求三个坐标轴上粘性力的投影。理想流体运动的微分方程——欧拉方程宗燕兵242:/xyxNmvy内摩粘性应擦应力或力，TANA：流体层接触面的面积，m2。牛顿内摩擦定律（又称牛顿粘性定律）：流体流动时流体的内摩擦力（又称粘性力）沿x轴方向的粘性力由在在三个方向上的速度梯度产生。xv()由速度梯度产生,作用于流体接触面上，方向在x轴上。BACyx宗燕兵25dxABCEFGHDdydzxyzo,xACxvxAC面上的粘性应力：EG面上的粘性应力：2,2()EGxxxvxvdxx所以，在AC和EG两个面上产生的粘性应力之和为22xvdxx,,ACxEGx与方向相反x轴方向上的粘性力（由产生）：xv粘性力为：22xvdxxdydzvxvyvzxv相对的两表面上产生的粘性应力方向相反，xv宗燕兵26同理，在BE和CH二面上产生的粘性应力之和为22xvdyy粘性力为：22xvdxdydzy在DE和CF两个面上产生的粘性力在x轴上之和为22xvdxdydzzdxABCEFGHDdydzxyzovxvyvz在AC和EG两个面上产生的粘性力之和为22xvdxxdydzxvxv宗燕兵27沿x轴方向的粘性力（由产生）xv222222xxxxvvvdxdydzdxdydzdxdydzxyz三式相加，得微元体六个面上的粘性力在轴上的投影：dxABCEFGHDdydzxyzovxvyvz222222()xxxxvdxdydvvxyzzx用除上式，得T单位质量流体在轴方向上的粘性力222222222222()()yyyzzzvvvxyzvvvxyzyzyz单位质量用相同的方法可以得流体在轴和轴方向到，TT上的粘性力宗燕兵281xxdvpXTxdt11yyzzdvpYTydtdvpZTzdt实际流体的流动222222(1)xxxxvvdvpXxxtzdvy222222222222()(11)zyyyyzzzdvpYydtdvpZvvvxyzvvvxyzzdt不可压缩实际流体的运动微分方程，亦称纳维—斯托克斯方程，简称N-S方程。222222()xxxvvvxyzxT222222222222()()zyyyzzvvvxyzvvvxyzyzTT=宗燕兵29说明：（1）也是基于牛顿第二定律（或动量定理）推导出来的。（2）欧拉方程是N-S方程的特例。（3）与连续性方程联立可以求得未知量。222222(1)xxxxvvdvpXxxtzdvy222222222222()(11)zyyyyzzzdvpYydtdvpZvvvxyzvvvxyzzdt质量力项N/kg压力项粘性力项合力项N-S方程：