体心立方晶格紧束缚近似能带结构的计算机模拟

体心立方晶格紧束缚近似能带结构的计算机模拟肖瑞春，陶松涛（安徽师范大学物理与电子信息学院）摘要:利用MATLAB对体心立方晶格在紧束缚近似下的s态能带进行计算机模拟，得到简约布里渊区内不同方向的能带曲线以及不同能量值的等能面的清晰图像，使状态空间的能带结构形态得到了直观的形象展示.关键字：紧束缚近似；体心立方晶格；能带；等能面能带理论的主要内容就是确立晶体中的电子能量在状态空间（k空间）的变化规律——色散关系（能带函数）。晶格能带在状态空间的变化特征往往通过三维等能面、费米面或特定方向的能带曲线来描述。其中，三维等能面、费米面的表达式比较复杂,其几何结构很难想象.上世纪60年代，人们借助于金属的deHaas-vanAlphen效应的实验数据，绘制了一些金属的费米面的三维图形[1]，受到广泛关注。随着计算技术的发展，人们开发出了许多卓越的分析软件，便于研究涉及大量数据的复杂问题。借助于这软件，人们开始了晶格能带的3D分析[2]\[3]。本文利用MATLAB软件，对紧束缚近似下的体心立方晶格的s态能带在简约布里渊区内不同方向的能带曲线及不同能量值的等能面进行计算机模拟，得到了比较清晰的图像，使状态空间的能带结构形态得到直观展示。如果所得结果与其它实验测量获得的关于碱金属的等能面或费米面的相关信息结合起来，有助于加深对这类晶体能带特点的认识。1.紧束缚近似下体心立方晶格的s态能带根据能带理论，紧束缚近似下i态原子能级形成的能带为[4]:s0()ssikRisRNearestEkJJRe（1）其中i为孤立原子能级i的能量，0J、sJR是重叠积分。对体心立方s态能带，8个近邻原子的重迭积分sJR相同，记为1J，有（1）式可得:s01()8coscoscos222sxyzaaaEkJJkkk（2）其中a为晶格常数，k为波矢量.根据Bloch定理可推知，晶体的电子能带具有周期性，即只要研究清楚一个倒格子原胞（取简约布里渊区）的情况即可.体心立方晶格的倒格子为面心立方格子（单胞边长4/a）。根据布里渊区的界面方程102nnGkG（G是倒格矢）（3）利用MATLAB可作出体心立方晶格的简约布里渊区图像，它是一个菱形十二面体，如图1所示.要掌握体心立方晶格能带结构详情，就是要给出相应能带的等能面在状态空间这样的一个区域内的变化图像.对方向余弦为cos、cos、cos的特定的方向，()sEk可以表示为：01()8coscoscoscoscoscos222ssaaaEkJJkkk（4）这就是该方向的能带曲线方程。其中：沿轴:0110028cos,02ssaEJJkka沿轴:20111028cos,4ssEJJak20ka沿轴:30111138cos,6ssEJJak30ka2利用MATLAB模拟能带的设计思路及步骤[6]2.1等能面与能带曲线方程的无量纲化（3）式表达为无量纲形式为1coscoscos222Uxyz（5）其中,,xyzakxakyakz（6）01188ssEkJJUJ（7）对于（4）式，记akt，则有1coscoscoscoscoscos222Uttt（8）于是，沿轴、沿轴、沿轴的能带曲线方程分别为：100211031111cos,02221cos,02431cos,036UttUttUtt（9）图1.体心立方晶格的简约布里渊区2.21)构建三维数组，生成三维网格。[x,y,z]=meshgrid(linspace(-2,2,n));其中n为linspace生成一维数组元素个数，已事先定义。2）MATLAB里（*）为数组运算，数组元素的运算用点乘（.*）来实现。首先将（5）式转化MATLAB符号的表达式为：val=1-(cos(0.5*pi*x).*cos(0.5*pi*y).*cos(0.5*pi*z)Val即为(7)里的U。3)限制图形绘制范围。若不对x、y、z进行限制，以上等能面将在的在倒格子单胞里绘制，故要把简约布里渊区以外的图形切掉，只保留图1所示的十四面体中的等能面部分。可以通过逻辑索引的方式来实现，具体思路是：通过逻辑运算与关系运算产生一个索引数组（实际为一个由0、1组成的关系数组），然后利用这个索引数组来访问原数组，并进行重新赋值。w=x+y-20|x-y-20|-x-y-20|-x+y-20|x+z-20|-x+z-20|y+z-20|-y+z-20|x-z-20|-x-z-20|y-z-20|-y-z-20;val(w)=NaN;该命令以布里渊区边界面方程为判读语句产生一个索引数组w，并用w访问原数组将布里渊区以外的val赋值为NaN（非数），从而实现了三维图形的切割。4)用isosurface、patch、set命令绘制等能面图像，并对图形属性进行设置。5)绘制布里渊区轮廓。在绘制前需将布里渊区顶点坐标和边界面各多边形片块的顶点索引并编成数组.用以下绘图命令实现：patch('Vertices',Vm1,'Faces',Fm1,'Linestyle','-','LineWidth',2,'FaceColor','none');其中Vm1数组是布里渊区顶点坐标，Fm1为布里渊区14个顶点索引.6)对视角、光照效果、坐标轴进行设置.3.等能面的模拟绘图结果按照上述步骤，以能量由低到高的顺序，我们得到了体心立方晶格s态能带的等能面在简约布里渊区的形态结构及其变化的清晰图像，如图2.1—2.12所示.2.1104.6JJEs2.2100.4JJEs2.3108.0JJEs2.41008.0JJEs2.50JEs2.61008.0JJEs2.7108.0JJEs2.8104JJEs2.9104.6JJEs图2.紧束缚近似下体心立方晶格的等能面图3不同等能面的嵌套和二维视图4.几点讨论从上面关于体心立方晶格在紧束缚近似下等能面的模拟绘图结果可以看出:（1）简约布里渊区的等能面在能量取值较小时与近自由电子等能面的“准球面”相似，如图2.1所示；（2）随着电子能量增加，等能面的形状变化越来越大，但是不管形状如何变化，这些等能面的宏观对称性都保持不变，也就是立方体的对称性；（3）图2.5中的等能能面恰好是边长为a/2的正方体表面；（4）当等能面抵达里渊区的边界时产生破裂，等能面与里渊区的边界趋于垂直，如图2.5-2.9所示；（5）接近能带顶部，等能面与半导体材料的费米面相差较大[5].实际上，这时公式（3）或公式（5）以不适用，通过修正能带公式，也可以得到与实际相符的结果，本文不做进一步分析；（6）利用MATLAB图形旋转功能可以使等能面发生三维旋转，这就使得这些抽象的概念能够形象、生动地展现出来，为避免冗长，文中未做介绍.参考文献:[1]D.Shoenberg，ThedeHaas-vanAlphenEffectandtheElectronicStructureofMetals.Phy.Trans.Roy.Soc.(London)A255，85(1962)[2]钟万蘅,申文俊.二维正方晶格和三维立方晶格电子的等能面[J].大学物理，1999，5，18(5):40-42[3]刘建军,华厚玉.简立方晶格s态电子等能面的计算机模拟[J].淮北煤炭师范学院学报，2005,9,26(3),23-25[4]黄昆,韩汝琦.固体物理学[M].北京:高等教育出版社，1988年10月.189-193[5]陆栋,蒋平,徐至中.固体物理学[M].上海:上海科技出版社,2003年12月.165-169[6]王正林,刘明.精通MATLAB7[M].北京:电子工业出版社,2006.7.[7]徐云翔,吴秀清,胡拥军.在Matlab环境下实现体绘制法的生物切片图象的三维重建[J].计算机工程,2001,12,27(12):114-115[8]黄叶子,管鹏,程琨.基于计算机的三维医学图像处理方法[J]宜宾学院学报,2008.10.12,51-53