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1全国2009年4月自学考试线性代数试题说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E表示单位矩阵,A表示方阵A的行列式,r(A)表示矩阵A的秩。一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.3阶行列式011101110ija中元素a21的代数余子式A21=()A.-2B.-1C.-1D.22.设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E,则B-1=()A.A-1C-1B.C-1A-1C.ACD.CA3.设3阶矩阵A=000100010,则A2的秩为()A.0B.1C.2D.34.设矩阵A=22211211aaaa,B=121112221121aaaaaa,P1=0110,P2=1101,则必有()A.P1P2A=BB.P2P1A=BC.AP1P2=BD.AP2P1=B5.设向量组α1,α2,α3,α4线性相关,则向量组中()A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6.设α1,α2,α3,α4是一个4维向量组,若已知α4可以表为α1,α2,α3,的线性组合,且表示法惟一,则向量组α1,α2,α3,α4的秩为()2A.1B.2C.3D.47.设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则下列解向量组中,可以作为该方程组基础解系的是()A.α1,α2,α1+α2B.α1,α2,α1-α2C.α1+α2,α2+α3,α3+α1D.α1-α2,α2-α3,α3-α18.设A为3阶矩阵,且EA32=0,则A必有一个特征值为()A.-23B.-32C.32D.239.设实对称矩阵A=120240002,则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为()A.21z+22z+23zB.21z+22z-23zC.21z+22zD.21z-22z10.设2元二次型f(x1,x2)=xTAx正定,则矩阵A可取为()A.2112B.2112C.1221D.1221二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设3阶行列式D3的第2列元素分别为1,-2,3,对应的代数余子式分别为-3,2,1,则D3=___________。12.已知3阶行列式33323123222113121196364232aaaaaaaaa=6,则333231232221131211aaaaaaaaa=___________。13.设A=0121,则A2-2A+E=___________。14.设A为2阶矩阵,将A的第2列的(-2)倍加到第1列得到矩阵B.若B=4321,则A=___________。315.设3阶矩阵A=333220100,则A-1=___________。16.设向量组a1=(a,1,1),a2=(1,-2,1),a3=(1,1,-2),线性相关,则数a=___________。17.3元齐次线性方程组003221xxxx的基础解系中所含解向量的个数为___________。18.已知3阶矩阵A的特征值为0,-2,3,且矩阵B与A相似,则EB=___________。19.设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为α1=(1,1)T,α2=(1,k)T,则数k=___________。20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=___________。三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21.计算4阶行列式1111111111111111aaaa.22.设2阶矩阵A=1223,P=1110,矩阵B满足关系式PB=A*P,计算行列式B.23.求向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,-3,5,1)T,α3=(3,2,-1,4)T,α4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组,并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表示.24.设3元齐次线性方程组0,00321321321axxxxaxxxxax(1)确定当a为何值时,方程组有非零解;(2)当方程组有非零解时,求出它的基础解系和全部解.25.设矩阵B=504313102,(1)判定B是否可与对角矩阵相似,说明理由;(2)若B可与对角矩阵相似,求对角矩阵∧和可逆矩阵P,使P-1BP=∧.26.设3元二次型f(x1,x2,x3)=21x+222x+23x-2x1x2-2x2x3,求正交变换x=Py,将二次型化为标准形.四、证明题(本大题6分)427.设矩阵A=321000000aaa,其中a1,a2,a3互不相同,证明:与A可交换的矩阵只能为对角矩阵.
本文标题:全国2009年4月自学考试线性代数试题
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