全国优秀教学设计二次函数图像和性质

二次函数的图象和性质（3）教学设计1北京市三帆中学陈立雪《二次函数的图象和性质（3）》教学设计北京市三帆中学陈立雪一、教学内容解析1.本章的内容和地位在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，对《二次函数》的课程内容做出了以下五点要求：（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.（2）会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.（3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.（4）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.（5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.从内容上看，学生在八年级时学习了《一次函数》、《反比例函数》两章内容，《二次函数》一章编排于九年级下册，此后，在《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》的课程中，学生将继续学习和研究指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的性质.从方法上看，在研究一次函数和反比例函数时，教材侧重于通过观察函数图象来直观了解函数的性质.而进入高中后，教材则侧重于通过分析解析式来研究函数性质.因此，在《二次函数》一章的教学中，我引导学生将研究方法从图象逐步向解析式转移，让学生在体会数形结合思想的同时，初步经历代数说理的过程，也为下一学段的学习做好过渡.2.本课的内容和地位在教学中，本章内容共安排了13个课时，其中第26.1节“二次函数及其图象”包含了7个课时.教学中为了突出学生的主体地位，适应学生的认知需求，在本章起始课上，我让学生从已有知识和经验出发，自己定义出一类可称为“二次函数”的新函数，并探讨对这类函数的进一步研究设想.结合一次函数的研究经验，依据从特殊到一般的原则，部分学生提出了如下的研究思路：为顺应学生的研究思路，我尝试对第26.1节的内容做了调整，安排如下：y=ax2(a≠0)y=ax2+c(a≠0)y=ax2+bx(a≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)2二次函数的图象和性质（3）教学设计北京市三帆中学陈立雪课时原来的教学安排我调整后的内容安排（本课是第5课时）第1课时26.1.1二次函数26.1.1二次函数第2课时26.1.2二次函数y=ax2的图象26.1.2用待定系数法求二次函数的解析式（1）——利用三点求二次函数的解析式第3课时26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象（1）——形如y=ax2+c(a≠0)的二次函数26.1.3二次函数的图象和性质（1）——形如y=ax2(a≠0)的二次函数第4课时26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象（2）——形如y=a(x-h)2(a≠0)的二次函数26.1.3二次函数的图象和性质（2）——形如y=ax2+c(a≠0)的二次函数第5课时26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象（3）——形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的二次函数26.1.3二次函数的图象和性质（3）——形如y=ax2+bx(a≠0)和y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数（数字系数）第6课时26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象26.1.3二次函数的图象和性质（4）——二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的一般规律第7课时*26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式26.1.4用待定系数法求二次函数的解析式（2）——利用顶点坐标或对称轴求解析式原教学安排以抛物线的平移作为主线，知识间的逻辑关系清晰，先从特殊到一般地研究形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的二次函数，最后提出形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数，学生自然就能想到将后者配方变形为已学过的形式，这样的设计便于突出重点、突破难点.而我尝试对内容作调整则是立足于尊重学生的认知需求，保护学生学习的主动性.此外，我校学生程度较好，具备一定的研究问题的能力，也乐于探究问题.因此，我结合学生学情制定了本课的教学目标，并且对教学情境、问题设计、代数说理等方面的内容和难度进行了反复推敲，进行这节课的尝试.从学生的课后反馈来看，取得了较好的教学效果.二、学生学情分析授课班级的学生程度较好，基础扎实，思维灵活，具备一定的探索数学问题二次函数的图象和性质（3）教学设计3北京市三帆中学陈立雪的能力，并乐于探究具有一定挑战性的问题.在知识基础方面，学生八年级时学习了一次函数和反比例函数，会用描点法绘制函数图象，会用待定系数法求函数解析式，能够借助函数图象描述出函数的简单性质，能够理解函数的解析式、图象和性质之间的内在联系.通过《二次函数》一章前几课时的学习，学生已经了解到二次函数的图象是抛物线，会用不共线的三点坐标求出二次函数的解析式，掌握了形如y=ax2+c(a≠0)的二次函数的图象和性质，并能从解析式上对函数的最值、对称性、增减性等特征进行说明.在研究能力方面，学生在七年级时参加了我校开展的研究性学习课程，具备较强的解决问题的能力.而在学习一次函数时，学生经历过自己提出问题、设计方案、解决问题的过程.比如，在学了正比例函数y=kx后，研究一次函数y=kx+b时，学生就提出想要研究“b对函数图象的影响”这样的问题，为解决问题，部分学生针对性地设计出函数组（如y=2x+1，y=2x+2，y=2x-1；或y=x+1，y=2x+1，y=-x+1等），还有一些学生从解析式中猜想出了直线的上下平移关系，最终从不同解法中总结出“b的几何意义”.因此，学生们不仅能够适应本课教学内容的调整，还能够从中表现出更强的自主性，获得更高的能力提升空间.三、教学目标设置1.教学目标（1）会将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，并确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）经历从特殊到一般的研究过程，体会数与形的内在联系；（3）能利用二次函数的图象特征推测函数的性质，并利用二次函数的解析式对其图象特征进行解释和判断；（4）感受数学的直观性、抽象性、严谨性，在方法迁移的过程中获得成功的体验.2.教学重点、教学难点教学重点：形如y=ax2+bx(a≠0)的数字系数的二次函数的图象与性质.教学难点：从解析式的角度对二次函数图象的对称性进行说理论证.四、教学策略分析1.教学面临的问题对本课而言，学生要掌握用配方的方法将数字系数的二次函数化为4二次函数的图象和性质（3）教学设计北京市三帆中学陈立雪y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，这需要考虑以下问题：（1）在学生提出的研究思路中，y=ax2+bx(a≠0)和y=ax2+bx+c(a≠0)两种形式的二次函数所使用的方法本质上是一样的，应当通过教学让学生意识到这种关系，使知识融合为一体；（2）在研究以上两种形式的二次函数时，如果直接面对解析式，学生可能在绘制图象时已经遇到障碍，根据描出的有限几个点确定不出顶点或对称轴的位置，让代数变形的探究缺乏支撑；（3）由于本课所研究的问题有一定难度，容易让学生感觉枯燥，所以问题情境的设计要尽量新颖、浅显，保护学生的积极性。2.教学方法的选择本课主要采用了教师启发讲授和学生探究相结合的方法，包括教师的启发讲授、提问、演示，以及学生的练习、展示、讨论等过程.3.教学情境的设计为了让课堂更丰富，同时加强知识之间的联系，我将所研究的几个二次函数用一个桥拱的情境串联起来，从图形入手，由浅入深地实现问题的引入、探究、推广和提升.如图是一座桥的抛物线形桥拱.当水面在BC时，拱顶离水面的距离AD=2m，水面宽BC=2m.问题1：请建立适当的平面直角坐标系，指出抛物线的顶点坐标和对称轴，并求出此时抛物线的解析式.（单位：m）问题2：某同学算出桥拱的解析式是y4=-2x2+4x-2.你知道他是怎么建立坐标系的吗？问题3：在拱桥的问题中，（1）你发现y1、y2、y3、y4的图象之间有什么联系？（2）如果以C为原点，直线BC为x轴，你能直接写出桥拱所在抛物线的解析式吗？（3）在（2）的条件下，桥拱在水中的倒影y′也是抛物线，你能直接写出它的解析式吗？想一想，你的依据是什么.在问题1中，根据学生建系方式的不同，可以分别得到几类不同形式的二次函数，这样就把几节课的知识巧妙地串联起来了.同时能够很快得出新形式的二次函数的对称轴和顶点坐标，为后面的探究确定了目标.问题2在背景上看似问题1的延续，实则在思维上与问题1互逆，在方法上2m2mDCBA二次函数的图象和性质（3）教学设计5北京市三帆中学陈立雪又是问题1的推广，让研究的对象过渡为形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数，这两种二次函数在形式上有差异，但知识间是有联系的，因而解决问题的方法是一样的.问题3留给学有余力的学生在课下探究，希望他们通过观察和思考，找到抛物线位置和开口方向的决定因素，理解同一条抛物线在不同坐标系下所对应的不同解析式之间的联系，其实这种联系是双向的：通过y1的平移可以得出y2、y3、y4的图象；从更高层面理解，y2、y3、y4的性质本质上就是由y1的性质得到的.随着理解的深入，学生对这些知识的理解经历着由感性到理性的过程.如果去掉桥拱的问题背景，学生实际要研究的是以下三个二次函数：xxy4223→24224xxy→1322xxy这三个二次函数在形式和方法上由易到难.函数y3是由图象得解析式，便于探究规律，形成方法.函数y4容易配方，也较容易绘制出图象，还可以由前一个函数y3图象的平移得到这个函数的性质，可以让学生在方法迁移的过程中体会知识之间的联系，并获得成功的体验.最后通过研究函数y=2x2-3x-1，巩固本课所学方法，并梳理研究二次函数的方法和过程.4.教学中的问题设计本课教学中涉及到新方法的引入，研究过程中也会面临一些思维难题，因此，针对教学中的某些环节，我通过设计启发性或阶梯性的问题来帮助学生突破难点.（1）引入配方方法的三步引导【环节2】探究求解①对y3=-2x2+4x，求证：当x=1时ymax=2.在环节2中证明函数最值时，需要引导学生对解析式进行配方变形.由于本章前几课时的研究中均没有出现配方，学生不容想到，所以需要给学生适当的引导.在这里，我设计了三步引导来完成证明过程：第1步：联想y=ax2+c(a≠0)的情形当a0时顶点(0,c)是最高点，这是因为ax2≤0，从而y=ax2+c≤c，且当x=0时函数有最大值c，所以(0,c)是图象的最高点.这是利用了x2的非负性，来确定函数的最值和取得最值的条件，同时确定图象的最高或最低点.第2步：确定解析式的变形目标若能够将解析式y3=-2x2+4x也变形成y=aM2+N的形式，其中M6二次函数的图象和性质（3）教学设计北京市三帆中学陈立雪是含x的式子、N是常数，那么就可以通过M2的非负性求出函数取得最大或最小值的条件.第3步：想到用配方的方法将解析式变形成需要的形式.其实，如果不做前两步分析，仍然会有部分学生想到使用配方的方法.但二次函数存在最值，其本质是因为实数的平方具有非负性，所以我认为应该通过教师的引导和分析使学生看到这层本质，而不是机械地使用配方的方法解题.（2）为研究函数对称性而设计的阶梯性问题【环节2】探究求解③二次函数y3=-2x2+4x的对称性.对二次函数对称性的描述是本课的教学难点.除了前两课时教学中的适当铺垫外，教学中我还设计了三个阶梯性问题，来帮助学生找到思路.第1问：你能从图象上找出一组对称点吗？第2问：为什么说它们关于直线x=1对称？它们的横坐标、纵坐标分别有什么关系？第3问：推广到一般情形，可以怎么证明函数的对称性？（换句话说，这样的对称点可以怎么找出来？）通过第1问和第2问，学生已经可以总结出：关于直线x=1对称的两点M、N，其坐标应该满足12,NMNMxxyy.所以在第3问时学生的思路就顺畅多了，在课堂上共提出了三种思路.思路1：在抛物线上找两点M、N，使NMyy，证明此时12NMxx.思路2：在抛物线上取一点M(m,n)，则它关于直线x=1的对称点为N(2-m,n)，证明点N也在抛物线上.思路3：对任意m0，在抛物线上取M、N，使xM=1-m，xN=