全国名校高考专题训练数学概率与统计

全国名校高考概率与统计51、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为21,xx，记2221)3()3(xx，（1）分别求出取得最大值和最小值时的概率；（2）求的分布列及数学期望.解：（I）函数x可能是1，2，3，4，则x—3分列得—2，—1，0，1，于是(x－3)2所取的点分别为0，1，4，因此ξ的可能取值为，0，1，2，4，5，8…………2分当1614141)8(,8)3()3(,11222121Pxxa可取得最大值时且当.1614141)0(,0)3()3(,33222121Pxxa可取最小值时且（II）由（I）知ξ的所有取值为0，1，2，4，5，831162)4()1,3)(3,1(),(441164)2()2,4)(4,4)(2,2(),(241164)1()2,3)(3,4)(3,2(),(121211PPPx即的所有值时当即的所有值时当即的所有值时当当41164)5()1,4)(2,1)(4,1)(1,2(),(521Pxx即的所有值时…………8分即ξ的分布列为ξE012458P16141418141161故期望Eξ＝111111012458316448416…………12分52、(湖北省八校高2008第二次联考)高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分.”某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：（Ⅰ）得50分的概率；（Ⅱ）得多少分的可能性最大；（Ⅲ）所得分数的数学期望．解：（1）得分为50分，10道题必须全做对.在其余的四道题中，有两道题答对的概率为12，有一道题答对的概率为13，还有一道答对的概率为14，所以得分为50分的概率为：P＝11111.223448………（3分）（2）依题意，该考生得分的范围为｛30，35，40，45，50｝.得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：1112361;2234488P同样可以求得得分为35分的概率为：12211231113112117;22342234223448PC得分为40分的概率为：31748P;得分为45分的概率为：4748P;得分为50分的概率为：51.48P所以得35分或得40分的可能性最大.………………（8分）（3）由（2）可知的分布列为：3035404550P6481748174874814861717714553035404550.484848484812E………（12分）53、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)一个口袋中装有n个红球（5n且nN）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；（Ⅱ）若5n，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？解：（Ⅰ）一次摸奖从5n个球中任选两个，有25nC种，它们等可能，其中两球不同色有115nCC种，………………………2分一次摸奖中奖的概率10(5)(4)npnn．………………………4分（Ⅱ）若5n，一次摸奖中奖的概率59p,………………………6分三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是123380(1)(1)243PCpp．………………………8分（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363PPCppppp，01p，……………………10分2'91233(1)(31)Ppppp，知在1(0,)3上P为增函数，在1(,1)3上P为减函数，当13p时P取得最大值．又101(5)(4)3npnn,解得20n．…………12分答：当20n时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．【方法探究】本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值．如果学生直接用10(5)(4)nnn代替p，函数将比较烦琐，这时需要运用换元的方法，将10(5)(4)nnn看成一个整体，再求最值．54、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，……，且拿球者传给其他三人中的任何一人都是等可能的，求：（Ⅰ）共传了四次，第四次球传回到甲的概率；（Ⅱ）若规定：最多传五次球，且在传球过程中，球传回到甲手中即停止传球；设ξ表示传球停止时传球的次数，求).5(P解：（Ⅰ）2773122313134P（Ⅱ）278332223)5(5P55、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)一个袋子中装有m个红球和n个白球（mn≥4），它们除颜色不同外，其余都相同，现从中任取两个球.（1）若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：m必为奇数；（2）若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个颜色不同的概率，求满足m+n≤20的所有数组（m,n）.解：（1）设“取出两个红球”为事件A，“取出一红一白两个球”为事件B，则21122(),()mmnmnmnCCCPAPBCC……2分由题意得*()()()PAkPBkN则有211mmnCkCC，可得21mkn……4分∵*,knN，∴m为奇数……6分（2）设“取出两个白球”为事件C，则22()nmnCPCC……7分由题意知()()()PAPCPB，即有2211mnmnCCCC可得到2()mnmn，从而m+n为完全平方数……9分又m≥n≥4及m+n≤20得9≤m+n≤20得到方程组：93mnmn；164mnmn解得：63mn，（不合题意舍去）106mn……11分故满足条件的数组（m,n）只有一组（10，6）……12分56、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图是两个独立的转盘()()AB、，在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60120180、、。用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘()A指针所对的区域数为x，转盘()B指针所对的区域为y，{1,2,3}xy、，设xy的值为，每一次游戏得到奖励分为⑴求2x且1y的概率；⑵某人进行了12次游戏，求他平均可以得到的奖励分（注：这是一个几何概率题，几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，即事件A的概率A积积的面全面）解：⑴由几何概率模型可知：111(1),(2),(3)632PxPxPx；111(1),(2),(3)326PyPyPy则12(2)(1),(1)(2)(3)63PxPxPyPypy，所以1(2,1)(2)(1)9PxyPxPy⑵由条件可知的取值为：23456、、、、，则的分布列为：23345P11873613361136112(B)(A)321321他平均一次得到的奖励分即为的期望值：1713111252345618363636126E所以给他玩12次，平均可以得到1250E分57、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)春节期间，某鲜花店中某种鲜花的进货价为每束2.5元，销售价为每束5元，若在春节期间内没售完，则在春节期间营业结束后以每束1.5元的价格处理，根据前5年的有关资料统计，春节期间这种鲜花的需求量服从以下分布20304050P0.200.350.300.15问该鲜花店今年春节前应进多少束（每次进货数是10的倍数）该鲜花利润最大？