全国高中数学联赛新题型仿真试卷2

全国高中数学联赛新题型仿真试卷2一试试题班级学号姓名分数一：填空题（每小题7分，共56分）1、已知集合BA，其中集合},,015)1()1(|),{(2RyxyaxayxA及},,123|),{(RyxaxyyxB，则a的取值可能为。2、递增的正整数数列,,21aa，满足),1(,120127naaaannn则8a的值是。3、)1(x2)1(x+…+nx)1(的展开式中2x的系数是。4、在四面体ABCD中，AB=AC=AD=5，BC=3，CD=4，DB=5，则该四面体的体积为。5、设,1,1yx则方程)22(21313yxyxyx的解为),(yx。6、设由模为1的)62(nn个复数满足下面两个条件组成一个集合S：)2(;1)1(S若,,21SzSz则,cos221Szz其中21argzz。则集合S。7、考虑十进制中的四位数，其数码是正整数，且数码之和是10，则这样的四位数共有。8、设cba,,分别是△ABC的三边，设222mcba，若1001cotcotcotBAC，则m=。二：解答题（共44分）1、（本题满分14分）在△ABC中，若2sincossincosABBA，且△ABC的周长为12，求其面积的最大可能值。2、（本题满分15分）数列}{na定义如下：,42,2211nnaaa数列}{nb定义为：*,21Nnabnnn。（1）求}{na的通项；（2）证明：*,1Nnbbnn；（3）证明：*,7Nnbn。3、（本题满分15分）过椭圆2222yx的左焦点F引倾斜角为的直线l交椭圆于P、Q两点，交两准线于A、B两点，若|PQ|、||AF|-|BF||、|AB|成等比数列，求|cos|的值。二试试题班级学号姓名分数一：（本题满分50分）设A、B、C、D是同一圆上的四点，L、M、N分别为弧AB、BC和CD的中点，弦AM与CL交于点P，弦BN与DM相交于点Q，求证：PQ∥LN二：（本题满分50分）对任意的正实数a,b,c，求证：(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca)三：（本题满分50分）对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，证明：对于任意整数n数[(n-1)!n(n+1)]为偶数。四：（本题满分50分）一个生物学家观察一只变色龙捉苍蝇，变色龙每捉一只苍蝇都要休息一会儿，生物学家注意到：（i）变色龙休息一分钟后捉到第一只苍蝇；（ii）捉第第m2只苍蝇之前休息的时间比捉第m只苍蝇之前休息的时间相同，且比捉第12m只苍蝇之前休息的时间少一分钟；（ii）当变色龙停止休息时能立即捉到一只苍蝇，问：（1）变色龙第一次休息9分钟之前，它共捉了多少只苍蝇？（2）多少分钟之后，变色龙捉到第98只苍蝇？（3）1999分钟之后，变色龙共捉了多少只苍蝇？全真模拟题（一）一：填空题（每小题7分，共56分）1、已知集合BA，其中集合},,015)1()1(|),{(2RyxyaxayxA及},,123|),{(RyxaxyyxB，则a的取值可能为。}5.2,4,1,1{2、递增的正整数数列,,21aa，满足),1(,120127naaaannn则8a的值是。1943、)1(x2)1(x+…+nx)1(的展开式中2x的系数是。Cn+134、在四面体ABCD中，AB=AC=AD=5，BC=3，CD=4，DB=5，则该四面体的体积为。355、设,1,1yx则方程)22(21313yxyxyx的解为),(yx。)2133,2133(6、设由模为1的)62(nn个复数满足下面两个条件组成一个集合S：)2(;1)1(S若,,21SzSz则,cos221Szz其中21argzz。则集合S。},,1,1{ii7、考虑十进制中的四位数，其数码是正整数，且数码之和是10，则这样的四位数共有。（84）8、设cba,,分别是△ABC的三边，设222mcba，若1001cotcotcotBAC，则m=。2003二：解答题（共44分）1、（本题满分14分）在△ABC中，若2sincossincosABBA，且△ABC的周长为12，求其面积的最大可能值。解：当2BA时，2sincossincosABBA显然成立，现用反证法证明当2BA时，2sincossincosABBA不成立（1）若2BA，则220,220ABBA∴AABBBAcos)2sin(sin,cos)2sin(sin∴2sincossincosABBA（2）若2BA，则①若BA,均为锐角，则220,220ABBA这时AABBBAcos)2sin(sin,cos)2sin(sin∴2sincossincosABBA②若BA,中有一个钝角，不妨设为A，则BA2，20AB这时AABAABcos)cos(cos,sin)sin(sin∴0sincossincosABBA∴2BA，设这时它们所对的边分别为ba,，则sababbaba)222(221222∴272108)22212(2s∴这个三角形面积的最大可能值为272108。2、（本题满分15分）数列}{na定义如下：,42,2211nnaaa数列}{nb定义为：*,21Nnabnnn。（1）求}{na的通项；（2）证明：*,1Nnbbnn；（3）证明：*,7Nnbn。（1）设,4sin21a则)4cos1(24cos224sin44222a=,2sin22sin4332一般地，若,2sin21kka则由递推关系知1112sin22cos22kkka。所以，}{na的通项公式为nann(2sin21)N（2）由（1）知，,2sin212nnnb于是,12cos2sin22cos2sin22sin22sin222322323121nnnnnnnnnnnnbb所以,2,1,1nbbnn。（3）因为当20x时，,sinxx所以72222sin21212nnnnnb。3、（本题满分15分）过椭圆2222yx的左焦点F引倾斜角为的直线l交椭圆于P、Q两点，交两准线于A、B两点，若|PQ|、||AF|-|BF||、|AB|成等比数列，求|cos|的值。解：在椭圆2222yx中，1,1,2cba∴左焦点F的坐标为(-1,0)设直线l的参数方程为：ttytx(sincos1为参数)代入椭圆中得：01cos2)sin1(22tt∴|PQ|=221sin122||tt，|AB|=|cos|4|cos|22ca，||AF|-|BF||=|cos|2|cos|2c∴|cos|4sin122)|cos|2(22∴02|cos|22cos2∴22|cos|二试试题一：（本题满分50分）设A、B、C、D是同一圆上的四点，L、M、N分别为弧AB、BC和CD的中点，弦AM与CL交于点P，弦BN与DM相交于点Q，求证：PQ∥LN证明：作弧AD的中点E，连接MB、MC、ML、MN，设弧AB、BC、CD、DA所对的圆周角分别为2α、2β、2γ、2θ，则2α+2β+2γ+2θ=180°∴α+β+γ+θ=90°∵∠LME=α+θ，∠MLN=β+γ∴∠LME+∠MLN=90°即：ME⊥LN∵∠MPC=α+β，∠MCP=α+β∴∠MPC=∠MCP∴MP=MC同理可得：MQ=MB又∵MB=MC∴MP=MQ又∵ME平分∠PMQ∴ME⊥PQ∴PQ∥LN二：（本题满分50分）对任意的正实数a,b,c，求证：(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca)证明：∵(a2+2)(b2+2)=(a2+1+1)(1+b2+1)≥(a+b+1)2∴(a2+2)(b2+2)(c2+2)=(a2+2)2(b2+2)2(c2+2)2≥(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)又(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=2abc+(a2+b2+c2)+3(ab+bc+ca)+(a2b+b)+(a2c+c)+(b2c+c)+(b2a+a)+(c2a+a)+(c2b+b)+2(a+b+c)+1≥2abc+(a2+b2+c2)+1+7(ab+bc+ca)对于正实数a,b,c，由抽屉原理得：至少有两个或两个以上的数同时不大于1或不小于1，不妨设b,c同时不小于1，则2abc+(a2+b2+c2)+1-2(ab+bc+ca)=2abc+(a2+1)+(b2+c2-2bc)-2ab-2ca≥2abc+2a-2ab-2ca=2a(bc-b-c+1)=2a(b-1)(c-1)≥0∴(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)≥9(ab+bc+ca)∴(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca)三：（本题满分50分）对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，证明：对于任意整数n数[(n-1)!n(n+1)]为偶数。证明：先证明一个引理：若nN+，n≥7，且n或n+1为合数，则n|(n-1)!或n+1|(n-1)!，并且所得的商为偶数。事实上，我们只需证n+1为合数的情况（n为合数的情况类似）。若n+1可写成n+1=pq(2≤Pq,p,qN)，则2≤Pq≤n+12≤n-1，从而n+1|(n-1)!，而当n≥7时，1,2,…,n-1中至少有3个偶数，所以(n-1)!中除p,q外还有偶数，即(n-1)!n+1为偶数。OQPNMLDCBAE若n+1不能写成n+1=pq的形式，由n+1为合数可知，可写成n+1=pn(n≥2,p为质数)的形式，又n≥7，所以p≥3，从而1p2p…npn-1，所以n+1|(n-1)!且(n-1)!n+1为偶数因此，引理得证。当n≤6时，由计算可得[(n-1)!n(n+1)]都是偶数；当n≥7时，n与n+1中至多有一个质数，若n与n+1中有一个为质数，不妨设n为质数，则由Wilson定理得(n-1)!-1(modn)，因此(n-1)!+n+1n为整数且为奇数，又此时n+1为合数，因此n+1|(n-1)!，且(n-1)!n+1为偶数，所以(n-1)!+n+1n(n+1)为奇数，因此[(n-1)!n(n+1)]=(n-1)!+n+1n(n+1)-1为偶数。当n+1为质数时，同理可得：[(n-1)!n(n+1)]为偶数如果n与n+1都是合数，那么n≥8，此时，由引理可得：n|(n-1)!，n+1|(n-1)!，而(n,n+1)=1，因此(n-1)!n(n+1)为整数，又由n与n+1的奇偶性不同可得：(n-1)!n(n+1)为偶数。综上所述：对任意的整数n数[(n-1)!n(n+1)]为偶数。四：（本题满分50分）一个生物学家观察一只变色龙捉苍蝇，变色龙每捉一只苍蝇都要休息一会儿，生物学家注意到：（i）变色龙休息一分钟后捉到第一只苍蝇；（ii）捉第第m2只苍蝇之前休息的时间比捉第m只苍蝇之前休息的时间相同，且比捉第12m只苍蝇之前休息的时间少一分钟；（ii）当变色龙停止休息时能立即捉到一只苍蝇，问：（1）变色龙第一次休息9分钟之前，它共捉了多少只苍蝇？（2）多少分钟之后，变色龙捉到第98只苍蝇？（3）1999分钟之后，变色龙共捉了多少只苍蝇？解：设捉第m只苍蝇之前变色龙休息的时间为)(mr，则1)()12(),()2(,1)1(mrmrmrmrr，这表明)(mr等于数m的二进制表示中1的数目。设)(mt为变色龙捉到第m只苍蝇的时刻，