信号与系统§1-2常用信号介绍.

§1.2常用信号介绍本课程主要涉及的是一维连续时间和离散时间确定性信号。一、连续时间信号：1、单位阶跃信号：函数式：)(tu0001)(tttu波形图：t01)(tu平移：00001)(ttttttut01)(0ttu0t反褶：0100)(tttut01)(tu•单边特性：000)()()(tttxtutxt01)(tut0)(txt0)()(tutx反褶平移：00010)(ttttttut01)(0ttu0t•典型应用：0tV1)(tu•由阶跃信号表示的典型信号：⑴符号函数信号：)sgn(t0101)sgn(tttt110)sgn(t)()(tutu1)(2tu⑵矩形脉冲信号：)(tG--门函数信号2021)(tttGt10)(tG22)2()2(tutu2、单位斜变信号：)(tR函数式：000)(ttttR波形图：t01)(tR1)(ttu平移：)()()(000ttuttttRt01)(0ttR0t01t•与单位阶跃信号的关系：是单位阶跃信号的积分：tdutR)()(所以)()()(tRdttdRtut01)(tut01)(tR1•三角脉冲的表示：波形图：t0A)(tx0tt0A)(0tRtA0tt0)(00ttRtA0tt0A0tt0A0t)(0ttAu函数式：)()]()([)(000ttAuttRtRtAtx)()()()(00000ttAuttutttAttutA?试用单位斜变信号表示以下三角波形：t0A)(tx2t0A)(tRA2t0A)(tRA2t0A)2(tRA2)]2()()([)(tRtRtRAtx3、单位冲激信号：)(t表示式：波形图：平移：0000)(ttttttt0)1()(t1)()(000ttdttdtttt0)1()(0tt0t000)(ttt1)()(00dttdtt•与单位阶跃信号的关系：是单位阶跃信号的导函数或称微分：tdtu)()(所以dttdut)()(t01)(tut0)1()(t•单位冲激信号与单位阶跃信号关系举例：0tV1Fc1)(tiR)(tucRCtcccceuuutu)]()0([)()(000)1)((tteuRtcdttductic)()(000)1(tteRt)(tuFc1)(tiR)(tuc1)(tuct0001tteRRtR1)(tit000)1()(ttetuRtc0001)(tteRtiRt减小电阻R)(tuFc1)(ti)(tuc当电阻R→0时)(tuFc1)(tiR)(tuc1)(tuct)1()(titR1)(tit1)(tuct)(tuFc1)(ti)(tuc)()(tti)()(tutuc利用阶跃信号的单边特性，以上电压和电流的表达式可以表示为：)()1()(tuetuRtcdttductic)()()()1()(1tetueRRtRt)(1tueRRt)1()(tit1)(tuct以上电流脉冲曲线与时间轴所包含的面积：11)(0dteRdttiRt不管电阻值的大小，始终为1。今后，我们常常用冲激信号表示当脉冲宽度趋于0，脉冲波形与时间轴包含的面积为常量的信号。将这个面积的值称为冲激信号的强度。例如：)1()(tit1)(tuct)(txt1)(txt1)(txt0)1()(txt221)(txt221)(txt01)(txt01单位冲激信号在信号与系统的理论中，是一个重要的基本信号，与运动学中的质点、电学中的点电荷一样，是一个理想的模型。•单位冲激信号的性质：⑴抽样性（筛选性）：)()0()()(txttx)()()()(000tttxtttx设x(t)在t=0与t0处连续，)0()()0()()(xdttxdtttx)()()()()(0000txdttttxdttttxt)(txt)1()1(0t000tt))0((x))((0tx⑵偶函数：)()(tt)()]([)(000tttttt•单位冲激信号的导数（微分）：单位冲激信号的各阶导数（微分）表示为：dttdt)()(22)()()(dttddttdtdttdt)()(……4、指数信号：表示式：tAetx)(波形图：以自然常数为底的指数信号，是非常重要的基本信号。它表示了许多自然界的客观规律，如电容中的充放电、放射性物质的衰变等。)()(tuAetxtt0)(tx0A00•单边指数信号：表示式：t0A)(tx0t000当α→0时，单边指数信号变成了阶跃信号。单边指数信号的微分和积分，依然是单边的按指数规律变化的信号。t0A)(tx)()1(0tueAdAedAettt)()()(tueAtAdttdxtt0Atdx0)(tA)(A)(tx•由单边指数信号表示的对称指数信号。)]()([)(tuetueAAetxttt⑴偶对称信号：t0A)(tx⑵奇对称信号：)]()([)(tuetueAtxttt0A)(txA5、正、余弦信号：)cos()sin()(tAtAtx21fT)(txtATTA称为正余弦信号的振幅。Ω是它们的角频率，单位为rad/s,读为每秒弧度；与信号的周期和频率的关系为：f是信号的频率，单位为Hz,表示每秒周（次）。θ与φ称为它们的初相位，Ω是它们的角频率。)cos()sin()(tAtAtx)(txtATTθ与φ称为它们的相位，它们的关系为：2tAtAtxcos)2sin()(0上图中：所以函数式为：因为同一个信号可以用正弦或余弦函数表示，仅有相位的差别，今后在不发生混淆的时候，就不区别称呼。•欧拉公式：)(21costjtjeet)(21sintjtjeejttjtetjsincostjtetjsincos正余弦信号是我们熟悉的常用基本信号，它有很好的特性，与指数信号类似，它们的导数和积分依然是正余弦信号，在正弦交流电路分析中我们知道，角频率为Ω的正弦信号作用于电路，其输出还是角频率为Ω的正弦信号。线性电路)sin()(tAtx)sin()(tBtyAXBY6、复指数信号：stAetx)(jstjAetx)()(tjteAe)sin(costjtAet复指数信号不是一个实际的信号，但其实部和虚部均表示幅度按指数规律变化的正余弦信号。当σ=0，复指数信号表示等幅的正余弦信号；当Ω=0，表示单调变化的指数信号，当两者均等于0，表示一直流信号。因此，复指数信号综合地表示多种有用信号，在信号与系统分析中，是一个重要的基本信号。tt7、抽样函数信号：tttSatxsin)()(以上抽样函数信号是正弦函数与反比函数的乘积表示的，因此它是一偶对称的信。当t=0时，用此点的极限定义，即值为1；当t=kπ(k取正负整数），由于分子为0，函数的值等于0。22)(2)(0dttSadttSa还有一个类似的函数，sinc(t)tttcsin)(sint)(tSa2218、高斯函数信号（钟形脉冲）：2)()(tAetx高斯函数信号，也称高斯脉冲，因其形似悬挂的金钟而称为钟形脉冲。由于它的时宽频宽积较小，而备受青睐。AAdtAedttxt222)(0)(2t)(tx0A2A78.0eA二、离散时间信号：1、单位样值序列：函数式：)(n0001)(nnn波形图：位移：00001)(nnnnnnn01)(nn01)(0nn0n•抽样性：)()0()()(nxnnx)()()()(000nnnxnnnx设有序列x(n)，则有)0()()0()()(xnxnnxnn)()()()()(0000nxnnnxnnnxnnn1030n)0(x3)3(xn)(nx012345122、单位阶跃序列：函数式：)(nu0001)(nnnu波形图：位移：00001)(nnnnnnun01)(nu1234n01)2(nu1234n01)2(nu123412•单位阶跃序列的单边特性：000)()()(nnnxnunx•与单位样值序列的关系：)()1()(nnunun)(nx01234512n01)(nu12345n)()(nunx01234512)()(numnmn01)(nu12345n01)1(nu12345n01)(n•矩形窗序列：)()()(NnununRNotherNnnxnRnxN00)()()(n01)4(nu12345n01)(nu12345n01)(4nR12345n0)(nx1234512n01)(4nR1234521n0)()(4nRnx12345123、指数序列：函数式：nanx)(式中底a为常数，其取值不同，序列变化的形态不同。如图中所示：n01)(nx12341210an01)(nx12341201an01)(nx1234121an01)(nx1234121a•单边指数序列：函数式：)()(nuanxn其波形如图中所示：n01)(nx12341210an01)(nx12341201an01)(nx1234121an01)(nx1234121a4、正余弦序列：函数式：)2cos(sin)(nAnAnx上式中ω称为数字角频率，相对的，前边Ω称为模拟角频率。n)(nx012345678911011与连续时间的正余弦信号不同，离散时间正余弦序列不一定是周期的。N2设正余弦序列是由连续时间正余弦信号等间隔抽样得到的，抽样间隔为：Ts。于是snTttAnx|sin)()sin(snTA)sin(nAsTTTs2n)(nx012345678911011At)(txsTsT2TsTAsT3sT4sT5sT6sT7sT9sT10sT112NTTs当为整数，序列以N为周期的；2kNTTs当为有理数(N/k是既约分数），序列依然以N为周期的；n)(nx012345678911011At)(txsTsT2TsTAsT3sT4sT5sT6sT7sT9sT10sT112sTT当为无理数，序列为非周期的。与连续时间正余弦信号类似，离散时间序列的欧拉公式为：)(21cosnjnjeen)(21sinnjnjeejnnjnenjsincosnjnenjsincos与连续时间信号与系统分析类似，正余弦序列在离散时间信号与系统分析时，是最常用的基本信号。5、复指数序列：nznx)()sin(cosjrrezjnjnernx)()sin(cosnjnrn复指数信号不是一个实际的