借助特殊点的几何性质辨析运动生成的函数图象

借助特殊点的几何性质辨析运动生成的函数图象因运动生成的函数图象问题，具有很强的迷惑性，考查采集“数”与“形”的形式.因其运动的连续性，通常以分段函数图象的形式呈现.这样，解题的着眼点就应落在分段函数图象的“折点”一即特殊点的几何意义的理解上.函数图象形象直观，能清晰地反映现实生活中两个变量之间的函数关系.辨析因运动变化而生成的变量间的函数图象问题，若能对动点运动到图形的特殊点(或“折点”或“拐点”)状态图形给予关注，并借助形成特殊点状态图形的几何性质进行探索，能轻松获解.本文所述的“特殊点”，即“折点”或“拐点”，形式意义包含两种:一是几何图形特征意义上的“折点”;二是几何图形象征意义上的“拐点”(指能使运动变化生成重叠面积时的点和应用性问题的研究对象连续运动过程中的“衔接点”).借助图形的这些特殊点与几何性质辨析因运动而生成的函数图象非常有效.一、借助几何图形特征意义上的“折点”辨析这类问题依托几何图形设置动点或动直线或动图形，因运动而生成两个变量之间的函数关系的图象.求解时，通常先从复杂的运动图形中分离出基本图形，即动中求静的思想.在运动元素运动至图形的“折点”—特殊点处，画出运动过程中瞬间静止的图形，借助其构成的即时状态图形的几何性质，通过计算推理，建立变量之间的关系式，从中转化为函数解析式，再依据函数性质比照函数图象特征进行合适的选择.1.借助几何图形特征意义上的“折点”定性分析这类问题缺少明确的数据信息，常可借助动点运动到特殊点位置时构成的即时状态基本图形的性质并结合图象挖掘隐含信息，利用函数最值及增减性合情推理定性分析.例1(湖州中考)如图1，已知A、B是反比例函数(k0,x0)图象上的两点，BC//x轴，交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动，终点为C.过P作PMx轴,PNy轴，垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为,SP点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为().解析动点P的运动路径分为4个折点(点O、A、B、C)共3段(线段OA、曲线AB和线段BC).①当点P在初始状态O点时，四边形OMPN未形成，此时0S，图象现为经过原点;②当点P在OA上运动时，此时S随t的增大而增大;③当点P在AB上运动时，依据反比例函数的几何意义，ppOMPNSkxy四边形，此时S不变，那么图象表现为平行于x轴,选项B、D淘汰;④当点P在BC上运动时，S随t的增大而逐渐减小，直至到达C点，四边形OMPN隐没消失，此时0S，图象表现为回到t轴，C错误.故选A.例2(永州中考)如图2，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D.设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是()(答:A).2.借助几何图形特征意义上的“折点”定量分析定量分析就是用数据说话，它能使问题变得简洁明了.这类题目常会提供较多的数据信息，求解时要借助图形运动到特殊点(折点)状态时形成的基本图形的几何性质，分析各数据之间隐含的数量关系，并由此建立函数关系式，借助函数性质比照图象选择.例3(威海中考)如图3，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒lcm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD一DC一CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止.设AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是().解析依题意，动点M、N同时到达B点，因此关注N点运动路径中的折点D、C和特殊点A、B，图象应呈现3段.①当动点N在AD段.11322AMNSAMANxx23(01)2xx.当0x时，0AMNyS;当1x时，32AMNyS.此时图象为经过原点(0，0)的一段开口向上抛物线，其终点坐标为(1，32).②当N在DC段运动时.13(12)22AMNySAMADxx，此时AMN的面积y随x的增大而增大，图象为一条上升的线段，故排除选项A、D.③当N在CB段运动时.11(93)22AMNSAMBNxx23922xx(2x3),此时图象为一段开口向下的抛物线，特别地，当x=3时，y=0.故选B.例4(兰州中考)如图4，点A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O路线作匀速运动，设运动时间为()ts.()APBy，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是().(答案:C)二、借助几何图形象征意义上的“拐点”辨析这类问题，动点运动过程中没有明确的“折点”出现，即直线型运动，但呈现的形式较隐性，在函数图象上表现为段与段之间的“拐点”，这需要借助动点运动到图形的特殊点时刻能形成函数图象的“拐点”(即上升、下降、保持不变的衔接点)进行定性、定量分析.1.借助几何图形象征意义上的“拐点”定性分析例5(北京顺义区中考)如图5①，在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在对角线AC上，连接FB、FE.当点F在AC上运动时，设,AFxBEF的周长为y,下列能表示y与x的函数关系大致图象的是().解析①先根据正方形的对称性找到使y有最小值的点—特殊点，如图5②，连接DE与AC交于点M(即为特殊点、也即象征意义上的“拐点”)，则当点F运动到点M处时，BEF的周长y最小，可知图象有最低点，故排除C，D选项;②此时AMMC，根据距离最低点x的值超过半程，可知图象大致为B.选B.2.借助几何图形象征意义上的“拐点”定量分析例6(重庆潼南中考)如图6①，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点,(),BDFH在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是().解析正方形ABCD沿F→H方向平移，即从大正方形左侧进入，右侧移出，当点D离开F时就生成了一个重合的正方形，分4个特殊点:初始状态时点()DF、小正方形恰好完全融入大正方形时的()BF点、小正方形恰好准备移出大正方形时的()DH点、小正方形恰好完全移出大正方形时的()BH点共3段.①初始状态点()DF处时，0,0xy，表明图象过原点;②当小正方形部分融入大正方形时.由已知得2,22BDDH，正方形的面积等于对角线乘积的一半，21(0)2yxx，表现在图象上则是抛物线的一部分且开口向上，选B.三、借助动态应用性问题关键字词句(对应图象的拐点—特殊点)辨析这类问题以定性的文字陈述信息，关键字词句描述研究对象运动变化的过程.这些字词句的衔接处恰是函数图象中“段”与“段”之间的折点(拐点)—即特殊点的标志，从中反映出函数图象的走势.1.借助动态应用性问题关键字词句定性辨析例7(潜江中考)小英早上从家里骑车上学，途中想起社会实践调查资料忘带了，立刻原路返回，返家途中遇到给她送资料的妈妈，接过资料后，小英加速向学校赶去.能反映她离家距离s与骑车时间t的函数关系图象大致是().分析根据小英的行驶情况，题目中的:骑车行走—返回途中一加速行走.这些词之间既承接又波动，理解这些关键词同函数图象及图象“拐点”表达意义的关系，是选择出合适图象的依据.距离先增加，再减少(不为0)，再增加，逐一排除.故选D.评析首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的几何意义，再根据实际情况来判断函数图象.需注意速度大说明在相等的时间内，走的路程要多，横轴表示时间，纵轴表示路程.表现在函数图象上就是速度大的函数图象的走势相对要陡.2.借助动态应用性问题关键字词句定量辨析例8(泸州中考)小明的父亲饭后出去散步，从家中出发走20分钟到一个离家900米的报亭看报10分钟后，用15分钟返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离y(米)与离家的时间x(分)之间的函数关系的是().分析关键词:散步、看报、回家.以此为题眼从小明父亲散步的时间段看，分为0一20分钟散步，20一30分钟看报，30—45分钟返回家，按时间段把函数图象分为三段2个拐点.故选D.评析正确理解函数图象横纵坐标表示的实际数量的意义，抓住关键词理解运动的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决.四、借助图形定点(特殊点)的几何意义辨析这类问题，形式上没有运动元素，但呈现比较隐蔽，需借助图形特殊点——定点(用运动相对性观点理解，实际是运动过程中相对静止的瞬间，两个联系的量相随变化就产生了函数)的几何性质作定性定量分析.例9(兰州中考)如图7，已知:正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点，且AEBFCGDH，设小正方形EFGH的面积为,SAE为x，则S关于x的函数图象大致是().解析①E、F、G、H分别为各边上的点，且,AEBFCGDHE、F、G、H分别只能在各边上运动，此时0x，表现在图象上不会有拐点，∴排除选项D.②由题意可证AEH≌BFE≌CGF≌DHG.题设AEx，则1AHx，根据勾股定理，得22222(1)EHAEAHxx，即22(1)Sxx，整理得2221.Sxx函数图象是一个开口向上，对称轴是12x且0x.故选B.五、借助函数图象的“拐点”辨析运动几何图形(运动路线)这类问题的求解，需借助函数图象拐点的几何意义比照题目中描述运动状态的关键词作定性分析.例10(黔南州中考)王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料.如图8，是王芳离家的距离与时间的函数图象.若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是()解析①函数图象表明有2个拐点，而路线图A有3个折点，不符合，排除A;②函数图象表明王芳从家去书店、买书时间、回到家3段，而路线图C第3个箭头表明没有回到家，∴排除C;③函数图象的2个拐点间的线段表明买书的时间增加而距离未变，而路线图D第1个拐点开始，离家距离随时间增加而先逐渐减少，再逐渐增加，直到第2个拐点，表现在图象上不是水平线，不合题意，排除D;④路线图B在2个拐点(含拐点)之间的运动轨迹在圆弧上，此时与家的距离保持不变，符合题意.选B.