假日补课版绝对高质量《圆锥曲线》三整合

《圆锥曲线》综合演练（三）参数方程及三种圆锥曲线统一的极坐标方程及应用1若F(c,0)是椭圆12222byax的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离等于2mM的点的坐标是2、若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为2，则a＋b的值是3.（全国二15）已知F是抛物线24Cyx：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于AB，两点．设FAFB，则FA与FB的比值等于4.（江西卷15）过抛物线22(0)xpyp的焦点F作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则AFFB5.（湖南卷8）若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是6.（福建卷11)又曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为7.（江西卷7）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是8.（辽宁卷10）已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为9．（2007湖南理）设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是10．（2007辽宁理）设P为双曲线22112yx上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PFPF，则12PFF△的面积为11过x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为1200的弦AB，M是AB的中点，则MA长是____12．P是双曲线)0,0(12222babyax左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则21FPF的内切圆的圆心横坐标为13.过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若FBFA2，则椭圆的离心率为____14.P为双曲线12222byax上一点,1F为一个焦点,以1PF为直径的圆与圆222ayx的位置关系为____改为椭圆)0(12222babyax呢15.M为双曲线116922yx上异于顶点的任一点,F1、F2分别是左、右焦点，,设1221,FMFFMF,求2cot2tan=16.以曲线116922yx的焦点弦AB为直径作圆,与相应准线l有两个不同的交点，则l截得圆弧的弧度数17.抛物线)0(22ppxy的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),则FEP与QEF的大小关系(改为椭圆和双曲线呢？)18.已知点P(x,y)对应的复数z满足1z,则点Q(x+y,xy)的轨迹是19．直线10xy与实轴在y轴上的双曲线22xym的交点在以原点为中心，边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么m的取值范围是20．抛物线2yx上不存在关于直线(3)ymx对称的两点，求m的范围21．已知椭圆21)(1222tyx＝1的一条准线方程为y＝8，则实数t的值为22．双曲线kyx224＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是23过)0(12222babyax的左焦点F作倾斜角为600的直线l交椭圆于A、B两点，若FBFA2，求椭圆的离心率.24.过抛物线y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线ι1和ι2,分别与抛物线交于A、B点和C、D点则是；(2)|AB|+|CD|的最小值是25在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.26．以点M(2，1)为双曲线1222yx右支的弦AB的中点所在直线的方程为27椭圆12222byax的内接矩形的最大面积为．28过P(5，－3)，倾斜角为，且53cos的直线交圆x2＋y2＝25于P1、P2两点．(1)|PP1|·|PP2｜的值是；(2)︱|PP1|-|PP2｜︳=(3)弦P1P2的中点M的坐标为．8．已知双曲线S的两条渐进线过坐标原点，且与以点(2,0)A为圆心，1为半径的圆相且，双曲线的一个顶点'A与点A关于直线yx对称，设直线l过点A，斜率为k。（Ⅰ）求双曲线S的方程；（Ⅱ）当0k时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为2，求斜率k的值和相应的点B的坐标。（目的：理解双曲线的渐进线、对称性及等轴双曲线的特征，并运用他们之间的关系解决问题）【解析】（Ⅰ）设双曲线的渐进线方程是yxyx与圆22(2)1xy相切，1渐进线方程为yx，又双曲线的一个顶点'A关于yx的对称点为'(2,0)(0,2)AA双曲线的方程为222yx。（Ⅱ）直线:(2)(0)lykxk设在l上方与l平行且相距2的直线'l的直线方程是0kxyc由2'2222(1)1ckckklk的方程是22(1)ykxkk代入222yx，解得（Ⅰ）当1k时方程只有一组解，符合题意。此时(2,2)B（Ⅱ）当1k时，由'l与S有且只有一个公共点，得228(321)00(321)00kkkkkkk25或或k=5综上所述：250,(0,2);1,(2,2);,(22,10)5kBkBkB9．已知抛物线1c：2yx和抛物线2c：217,22yx是否存在直线l，使直线l与抛物线12,cc从下到上顺次交于点1234,,,,pppp且这些点的纵坐标1234,,,yyyy组成等差数列？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说出理由【解析】解：（1）假设存在直线ykxm符合题意，解220yxkyymykxm当114mk0时，有121,yyk同理，解2217270,22yxkyykmykxm当218(7)kkm0时，有231,2yyk若1234,,,,pppp组成等差数列，则1424112yyyykk无解。（1）假设直线l的斜率不存在，设想方程(xnn0），代入212,,yxynyn代入2231777,,2222nnynyy若1234,,,,pppp组成等差数列，则14234132,3()yyyyyyyy7262nn，解得9n存在直线9x满足题意。2.3焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一的极坐标方程：(1)圆锥曲线统一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为常数e的动点轨迹，就叫圆锥曲线。其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线。(2)圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点O为极点，以过定点所作定直线L的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系。那么在此标准极坐标系下圆锥曲线的标准统一方程,其中p是焦点到相应准线的距离。在椭圆和双曲线中p就是相应直角坐标系中的,.例题1解：(1)以焦点F为极点，x轴正方向为极轴正向建立极坐标系，则y2=2px的极坐标方程为设A(ρ1，θ)则B(ρ2，θ+π),,∴（为定值）(2)当sin22θ=1时，等号成立，∴最小值为8p5．直线、圆、椭圆的参数方程．1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是atyyatxxsincos00(t为参数)(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是btyyatxx00(t不参数)②在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是22ba｜t｜.直线参数方程的应用设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是atyyatxxsincos00（t为参数）若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则(1)P1、P2两点的坐标分别是(x0+t1cosα,y0+t1sinα)(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t=221tt中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜221tt｜(4)若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.(3)圆的参数方程为sin,cos00ryyrxx(为参数)；解：将圆的方程化为参数方程：sin51cos52yx（为参数）则圆上点P坐标为(2+5cos，1+5sin)，它到所给直线之距离d=223430sin15cos120故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).(4)椭圆)0(12222babyax的参数方程为sin,cosbyax(为参数)．解：设AB的方程为sin1,cos2tytx(t为参数)，代入双曲线方程，得(2cos2－sin2)t2＋(8cos－2sin)t＋5＝0，由于M为AB的中点，则t1＋t2＝0，则tan＝4，从而AB的方程为：4x－y－7＝0．例5求椭圆12222byax的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P(acos，bsin)，P点在两轴上的投影分别为A、B，则有S内接矩形＝4S矩形OAPB＝4·acos·bsin＝2absin2．因为)2π,0(，所以2∈(0，)，S内接矩形的最大值为2ab．解：(1)由已知53cos得,54sin所以已知直线的参数方程为,543,535tytx…………………①(t为参数)代入圆的方程化简，得.095542tt…………………②②的两个解t1、t2就是P1、P2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知｜PP1|·｜PP2|＝|t1|·|t2|＝9．(2)设M(x，y)为P1P2的中点，则点M对应的参数527221ttt，代入参数方程，得,2533,2544yx所以MPPPP,9||||21).2533,2544(评述：根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2｜；②定点M0是弦M1M2的中点t1＋t2＝0；③设弦M1M2的中点为M，则点M对应的参数值221tttM，(由此可求得|M2M|及中