偏序集的Dilworth定理学习

偏序集的Dilworth定理学习导弹拦截是一个经典问题：求一个序列的最长不上升子序列，以及求能最少划分成几组不上升子序列。第一问是经典动态规划，第二问直接的方法是最小路径覆盖，但是二分图匹配的复杂度较高，我们可以将其转化成求最长上升子序列，其最大值即等于不上升子序列的最小划分数。这就涉及到组合数学中偏序集的Dilworth定理。（第二问的贪心方法其实就是这个定理的证明过程）其中第一问和第二问都可以用o(nlogn)的算法解决：#includecstdio#includecstring#includealgorithmusingnamespacestd;inta[100],f[100],g[100];intmain(){freopen(lmis.in,r,stdin);freopen(lmis.out,w,stdout);intn,i;scanf(%d,&n);memset(g,0x7f,sizeof(g));memset(f,0,sizeof(f));for(i=0;in;i++)scanf(%d,&a[i++]);for(i=0;in;i++){intk=lower_bound(g+1,g+n,a[i])-g;f[i]=k+1;g[k+1]=a[i];}printf(%d\n,*max_element(f,f+n));return0;}附：memset(arr,0x7F,sizeof(arr));//setintto2139062143memset(arr,0x80,sizeof(arr));//setintto-2139062144memset(arr,0x7F,sizeof(arr));//setdoubleto1.38242e+306memset(arr,0xFE,sizeof(arr));//setdoubleto-5.31401e+303先介绍一下偏序关系：偏序是在集合X上的二元关系≤（这只是个抽象符号，不是“小于或等于”），它满足自反性、反对称性和传递性。即，对于X中的任意元素a,b和c，有:自反性：a≤a;反对称性：如果a≤b且b≤a，则有a=b;传递性：如果a≤b且b≤c，则a≤c。带有偏序关系的集合称为偏序集。令(X,≤)是一个偏序集，对于集合中的两个元素a、b，如果有a≤b或者b≤a，则称a和b是可比的，否则a和b不可比。在X中，对于元素a，如果任意元素b，由b≤a得出b=a，则称a为极小元。一个反链A是X的一个子集，它的任意两个元素都不能进行比较。一个链C是X的一个子集，它的任意两个元素都可比。下面是两个重要定理：定理1令（X,≤）是一个有限偏序集，并令r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个但不能再少的反链。其对偶定理称为Dilworth定理：定理2令（X,≤）是一个有限偏序集，并令m是反链的最大的大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。虽然这两个定理内容相似，但第一个定理证明要简单一些。此处就只证明定理1。证明：设p为最少反链个数(1)先证明X不能划分成小于r个反链。由于r是最大链C的大小，C中任两个元素都可比，因此C中任两个元素都不能属于同一反链。所以p=r。(2)设X1＝X，A1是X1中的极小元的集合。从X1中删除A1得到X2。注意到对于X2中任意元素a2，必存在X1中的元素a1，使得a1=a2。令A2是X2中极小元的集合，从X2中删除A2得到X3……最终，会有一个Xk非空而X(k+1)为空。于是A1,A2,…,Ak就是X的反链的划分，同时存在链a1=a2=…=ak，其中ai在Ai内。由于r是最长链大小，因此r=k。由于X被划分成了k个反链，因此r=k=p。因此r=p，定理1得证。回过头来看导弹拦截第二问。我们定义偏序关系≤：a≤b表示a出现不迟于b且a的值不小于b的值。这个偏序集的最长反链即最长上升子序列，它的不上升子序列是偏序集的链。由Dilworth定理可知，不上升子序列的最小划分数＝最长上升子序列的长度。p.s.这里的贪心方法是，每次选出所有的在它前面没有大于或等于它的数作为一组。其实我们每次选的是偏序集的最小元，因此我们最终得到的答案就是上面的k。由r=p及r=k=p可以得到r=k=p，因此贪心正确。