八年级数学下册4.6反证法例题选讲课件(新版)浙教版

第4章平行四边形4.6反证法否定式命题例1若k是整数，m是奇数，求证：方程x2-mx+k=0不可能有两个相等的实数根.分析：这题看起来似乎无从着手，其实从“方程x2-mx+k=0不可能有两个相等的实数根”入手，我们可以先计算b2-4ac的值，用含k，m的代数式表示，从结论的反面入手，假设原方程有两个相等的实数根，利用它进行推导，得出矛盾即可.证明：假设方程x2-mx+k=0有两个相等的实数根.则b2-4ac=m2-4k=0.∵m是奇数，∴m2也是奇数.∵k是整数，∴4k是偶数.∴m2-4k是奇数，这与m2-4k=0相矛盾，∴假设是错误的，因此原结论成立.注意点：这类命题与存在性命题相反，在结论中出现“没有”“无”“不可能”等一些否定的词语，假设其反面就是“存在一个”或“可能”.本例从结论的反面入手，利用“奇数一偶数≠偶数”这一整数运算的性质，在推导过程中两个结果自相矛盾，得出假设不成立，从而原结论成立.存在性命题例2求证：三角形中必有一个内角不小于60°.证明：已知∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，假设所求证的结论不成立，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C=180°.这与三角形三个内角的和等于180°相矛盾，所以假设不成立，所求证的结论成立.分析：必有一个内角不小于于60°，其反面“没有一个”.注意点：这类命题通常在结论中会出现“存在”之类的词语，那假设其反面就是“没有一个”.反证法其实是一种重要的间接证法，一般地说，如果命题的结论难以直接证明，而其反面却易于否定时，那么反证法的使用就会使得问题迎刃而解.“至多”“至少”的命题例3求证：一个三角形中至少有2个锐角.分析：“至少有2个”的反面是“至多有1个”，分两种情况：①只有一个锐角；②3个角都不是锐角.证明：（反证法）假设一个三角形中至多有1个锐角，当一个三角形中只有一个锐角时，其余两个角都大于或等于90°，这两个角之和大于或等于180°，这与定理“三角形的内角和为180°”矛盾；当一个三角形中3个角都不是锐角时，即这三个角都大于或等于90°，它们之和显然大于180°，同样与定理“三角形的内角和为180°”矛盾.注意点：当一个命题的结论是以“至多”“至少”等形式出现时，用反证法易证.注意“至多存在n个”的假设其反面为“至少存在（n+1）个”；“至少存在n个”的假设其反面为“至多存在（n-1）个”.综上所述，两种情况均与定理“三角形的内角和为180°”矛盾，所以假设不成立，因此原结论成立.例用反证法证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，应假设（）A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角表中三个角都是直角或钝角错因：一是对反证法的意义不理解，二是不理解问题.错答：A或C正答：B