八年级数学下册方差导学案

八年级数学下册导学案（三十二）杨成超八年级数学下册——方差导学案【教学目标】：经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。【教学重难点】：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。掌握其求法【自学指导】：学生看P138---P140注意以下问题：①什么是方差？如何找一组数据的方差？②方差有何意义。③平均数，中位数，众数，极差与方差的区别与联系。【自学检测】1.乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下（单位：mm）：A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?（1）请你算一算它们的平均数和极差。(2)是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？2.计算样本101，97，100，99，103的平均数、方差及样本标准差.将101，97，100，99，103同时减去100得：1，-3，0，-1，3，∴x＝51(1-3+0-1+3)＝0，∴x＝'x+100＝100；∴S2＝51〔12+(-3)2+02+(-1)2+32-5×02〕＝51×20＝4;∴S＝4＝2.答：平均数为100，方差为4，样本标准差为2.说明：当一组数据较大且相互比较接近时，若将每个数据同时减去一个与它们平均数接近的较“整”的常数a，便可利用简化计算公式.【师生共同探究，总结】：方差有下面几条重要的性质.设随机变量X与Y的方差存在，则1°设c为常数，则D（c）=0；2°设c为常数，则D（cX）=c2D（X）；3°D（X±Y)=D(X)+D(Y)±2E［(X-E(X))(Y-E(Y))］；4°若X，Y相互独立，则D（X±Y）=D(X)+D(Y)；5°对任意的常数c≠E(X)，有D(X)E[（X-c）2].方差的定义定义1设X是一个随机变量,若2)]([(XEXE存在,则称它为X的方差,记为.)]([)(2XEXEXD方差的算术平方根)(XD称为标准差或均方差,它与X具有相同的度量单位,在实际应用中经常使用.方差刻划了随机变量X的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.从方差的定义易见:(1)若X的取值比较集中,则方差较小;(2)若X的取值比较分散,则方差较大;(3)若方差0)(XD,则随机变量X以概率1取常数值,此时X也就不是随机变量了.方差定义：设有n个数据nxxx，，，21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是2221)()(xxxx，，…，，，2)(xxn我们用它们的平均数，即用])()()[(1222212xxxxxxnxn来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance），记作2s。意义：用来衡量一批数据的波动大小在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定归纳：（1）研究离散程度可用2S（2）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小（3）方差主要应用在平均数相等或接近时（4）方差大波动大，方差小波动小，一般选波动小的方差的简便公式：波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到。所以方差公式是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量，教师也可以根据学生程度和课堂时间决定是否介绍平均差等可以反映数据波动大小的其他统计量。方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好的指标。其值越大，说明离散程度大，其值小说明数据比较集中，它是统计描述与统计分析中最常应用的差异量数。它基本具备一个良好的差异量数应具备的条件：①反应灵敏，每个数据取值的变化，方差或标准差都随之变化；②有一定的计算公式严密确定；③容易计算；④适合代数运算；⑤受抽样变动的影响小，即不同样本的标准差或方差比较稳定；⑥简单明了，这一点与其他差异量数比较稍有不足，但其意义还是较明白的。方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。方差的计算(1)基本公式S2＝n1[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2].(2)简化计算公式(Ⅰ)S2＝n1[(x21+x22+…+x2n)-nx2],或写成S2＝n1(x21+x22+…+x2n)-x2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.(3)简化计算公式(Ⅱ)S2＝n1[(x′21+x′22+…+x′2n)-n'x2](4)原数据x1,x2,…,xn的方差与新数据x′1＝x1-a,x′2＝x2-a,…,x′n＝xn-a的方差相等.即x′1,x′2,…,x′n的方差S′2＝n1［(x′1-'x)2+(x′2-'x)2+…+（nx-2')x］等于原数据x1,x2,…,xn的方差S2.标准差：方差的算术平方根，即并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系：计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的一致，有时用它比较方便．1.方差一组数据中的各数与其平均数的偏差的平方的平均值称为这组数据的方差，它反映了一组数据的分散或波动的程度。2.极差用来反映一类量的分布的跨度或其波动的幅度。3.平均数则是用来反映一组数据的平均水平或数据的集中位置。4.计算方差时，要先算这组数据的平均数，再算每个数据与平均数的偏差的平方和，最后除以数据的个数。【提高练习】：1.已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为。2.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S2甲S2乙，所以确定去参加比赛。3.甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是（）甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？4.小爽和小兵在10次百米跑步练习中成绩如表所示：（单位：秒）小爽10.810.911.010.711.111.110.811.010.710.9小兵10.910.910.810.811.010.910.811.110.910.8如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛，你会选谁呢？【作业与教学反思】：一．选择题1．一组数据1,-1,0,-1,1的方差和标准差分别是()A.0,0B.0.8,0.64C.1,1D.0.8,0.82．某制衣厂要确定一种衬衫不同号码的生产数量,在做市场调查时,该商家侧重了解的是这种衬衫不同号码的销售数量的()A.平均数B.众数C.标准差D.中位数3．在统计中,样本的方差可以近似地反映总体的()A.平均状态B.波动大小C.分布规律D.集中趋势4．甲、乙两个样本的方差分别是s甲2=6.06,s乙2=14.31,由此可反映出()A.样本甲的波动比样本乙的波动大;B.样本甲的波动比样本乙的波动小;C.样本甲的波动与样本乙的波动大小一样;D.样本甲和样本乙的波动大小关系不确定5．已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差为13,那么另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数和方差分别是()A.2,13B.2,1C.4,23D.4,36．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数据测验,班平均分和方差分别为甲x=82分,乙x=82分,2甲s=245,2乙s=190.那么成绩较为整齐的是().A.甲班B.乙班C.两班一样整齐D.无法确定7．计算一组数据：8，9，10，11，12的方差为（）A．1B．2C．3D．48．甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数x甲=x乙=7，方差S甲2=3，S乙2=1.2，则射击成绩较稳定的是（）A．甲B．乙C．一样D．不能确定9．甲、乙两八年级学生在一学期里多次检测中，其数学成绩的平均分相等，但他们成绩的方差不等，那么正确评价他们的数学学习情况的是（）A．学习水平一样B．成绩虽然一样，但方差大的学生学习潜力大C．虽然平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定D．方差较小的学习成绩不稳定，忽高忽低二．填空题1．数据8,10,12,9,11的极差和方差分别是_______.2．数据2,2,3,4,4的方差S2=____________.3．质检部门对甲、乙两工厂生产的同样产品抽样调查,计算出甲厂的样本方差为0.99,乙厂的样本方差为1.02,那么,由此可以推断出生产此类产品,质量比较稳定的是_______厂.4．数据8,10,12,9,11的极差和方差分别是_______.5．已知一组数据的方差是s2=125[(x1-2.5)2+(x2-2.5)2+(x3-2.5)2+…+(x25-2.5)2],则这组数据的平均数是_________.6．一组数据的方差为s2,将这组数据的每个数据都乘2,所得到的一组新数据的方差是________.7．甲、乙两台机器分别罐装每瓶质量为500克的矿泉水｡从甲、乙罐装的矿泉水中分别随机抽取了30瓶,测算得它们实际质量的方差是:24.8S甲,236S乙..那么_______(填“甲”或“乙”)罐装的矿泉水质量比较稳定.8．已知一个样本1,3,2,5,4,则这个样本的标准差为______9．若一组数据a1,a2,…,an的方差是5,则一组新数据2a1,2a2,…,2an的方差是()A.5B.10C.20D.5010．已知一个样本:1,3,5,x,2,它的平均数为3,则这个样本的方差是_____.11．如图,是甲、乙两地5月下旬的日平均气温统计图,则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为:2S甲________.S2乙12．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛,参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表:班级参赛人数中位数方差平均字数甲55149191135乙55151110135某同学分析上表后得出如下结论:①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同;②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀);③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的是____________(把你认为正确结论的序号都填上).13．为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐,每种秧苗随机各取5株量出每株的长度如下表所示(单位:厘米)编号12345甲1213151510乙1314151211经计算,所抽取的甲、乙两种水稻秧苗长度的平均数都是13厘米,方差S2甲=3.6厘米2,那么S2乙=_______厘米2,因此______种水稻秧苗出苗更整齐.14．一组数据5，8，x，10，4的平均数是2x，则这组数据的方差是________．15．若样本1，2，3，x的平均数为5，又样本1，2，3，x，y的平均数为6，则样本1，2，3，x，y的极差是_______，方差是_______，标准差是______．16．已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____，标准差为________．17．一组数据-8，-4，5，6，7，7，8，9的极差是_____，方差是____，标准差是____．18．若样本x1，x2，……，xn的平均数为x=5，方差S2=0.025，则样本4x1，4x2，……，4xn的平均数x`=_____，方差S’2=_______．三、解答题1．现有A、B两个班级,每个班级各有45名学生参加一次测试,每名参加者可获得0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分这几种不同的分值中的一种.测试结果A班的成绩如下表所示,B班的成绩如