八年级数学上册1542《公式法因式分解》课堂教学实录新人教版

115.4.2公式法课堂实录师：同学们好！生：老师好！师：首先检查一下预习情况！在预习的过程中能够有没有碰到不会的问题？生：在计算题的第一题我就碰到了困难．我觉得应该有简便方法，可是我又想不出来，我是直接算的，有点麻烦！生：我有好方法介绍给你．11200720082007200720082200812222、原式师：大家觉得他的方法怎样？觉得简单的给他掌声．（掌声不断）师：“数学来源于生活，也应用于生活”．双休日，装潢师傅出了这样一道题：要在一个边长为12.75cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25cm的正方形，剩余部分的面积是多少？不使用计算器，你能计算出来吗？我这样解的：2212.757.25…………①12.757.2512.757.25…………②2205.5110cm．根据上面的计算，思考下面的问题：（1）由②到①属于；应用了公式；（2）由①到②属于；逆用了公式；（3）由因式分解和整式乘法的互逆关系，类比猜想因式分解中的平方差公式是：（4）运用平方差公式分解因式的多项式特征是：生：这很简单啊！（1）由②到①属于多项式相乘；应用了平方差公式；（2）由①到②属于因式分解；逆用了平方差公式；（3）由因式分解和整式乘法的互逆关系，类比猜想因式分解中的平方差公式是：22ababab（4）运用平方差公式分解因式的多项式特征是：两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式师：（掌声）很好！今天我们就来学习用公式因式分解，首先介绍的是平方差公式．〖评析〗这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是？出示问题：下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是2A．22)(baB．mnm2052C．22yxD．92x生：A．B．C．都不能，D．92x=33xx师：很好，能告诉我，你是怎么判断的呢？生：平方差公式分解因式的多项式应满足的条件：师：你真棒！大家看下面这个问题．出示问题：2．22abab是下列哪一个多项式的分解结果A．224baB．224baC．224baD．224ba生：我认为选D,224ba先提取负号，变为)4(22ba，再因式分解为22abab．师：你观察的很仔细！下次因式分解时我们也可以采用你的方法．下面有道练习题向我们同学提出了挑战，看你掌握知识的情况：出示问题：3．下列用平方差公式分解因式正确的是A．224xy22xyxyB．224xy22xyxyC．224xy22xyxyD．224xy22yxyx学生：可以用平方差做的是D，224xy可以交换一下两个单项式的位置，变为224xy然后运用平方差公式分解因式22yxyx师：你的方法和刚刚那名同学不一样，有特点，很聪明，请坐！〖评析〗在学习了用平方差公式分解因式后，再观察与平方差公式结构类似的几个变式，判断能否运用平方差公式进行分解因式，达到检验．巩固和学以致用的目的，培养了学生有条理思考及语言表达能力．师：接下来我们来看看如何用平方差公式来做因式分解的题目，注意过程．出示问题：例3分解因式（1）942y（2）22qxpx师：这两题怎么分析？3生：在（1）中，4x2=（2x）2，9=32，4x2－9=（2x）2–32，即可用平方差公式分解因式．教师板演：解：（1）4x2–9=（2x）2–32=（2x+3）（2x－3）；生：第（2）中把p-x和px看成一个整体，设,,nqxmpx则原式转化为22nm，再因式分解为nmnm，最后还原成qpqpx2教师板演：（2）（x+p）2–（x+q）2=[（x+p）+（x+q）][（x+p）–（x+q）]=（2x+p+q）（p－q）．师：在运用平方差公式因式分解时，一定要多观察多项式的特点，是否可以写成两个数的平方差的形式．〖评析〗通过例3的教学，进一步巩固平方差公式分解因式的应用，培养学生符号运算的能力，进一步培养学生逆向思维和勤于观察的习惯，体现了本节课的重点出示问题：例4分解因式（1）44yx（2）abba3师：下面这两问题稍微有点难度，我们来挑战一下！出示问题：例4分解因式（1）44yx（2）abba3师：如何处理指数为4次的二项式？生：将44yx分解为2222yxyx师：你很聪明，但是将44yx分解为2222yxyx就可以了吗？生：嗯···好像没有？师：为什么？生：x2－y2不是还可以因式分解吗？师：太厉害了，44yx应当分解两次，分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．第（2）题将abba3分解因式能直接运用平方差公式吗？4生：不能，a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．师：由此可以得出什么结论？生：因式分解的方法不是孤立的，要综合起来用，在运用公式法分解因式前，先观察一下可不可以提公因式．师：你说的很有道理，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用公式分解因式.请同学来板演．学生板演：（1）x4－y4=（x2+y2）（x2－y2）=（x2+y2）（x+y）（x－y）；（2）ba3－ab=ab（2a－1）=ab（a+1）（a－1）．〖评析〗通过（1）小题的教学，意图是让学生探究出运用幂的乘方逆运算将4次指数“降”为2次指数，从而转化成两数平方差的形式，进一步培养了学生的数感，在进一步了解平方差公式因式分解后，还可以继续运用平方差公式进行二次分解，此例很好的解决了“分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止”的要求，也突破了本节课的难点之一．在（2）小题中，初步体现了将前面所学到的因式分解的方法和新学的方法灵活运用，意在传递给学生这样一个信息：分解因式的方法不是孤立的，而是可以一起综合应用的．这样让学生初步意识到知识承上启下的关联作用．师：你能将多项式222baba与222baba分解因式吗？生：222)(2bababa．222)(2bababa师：你为什么回答的这么肯定？生：因为乘法公式中有22))(bababa（，它的逆运算就是22ba=))(baba（，那么完全平方公式2)(ba=222baba的逆运算不就是222)(2bababa吗？师：你的推理很正确，观察一下，这两个多项式有什么特点？生1：是三项生2：有两项能够写成平方和的形式师：说得很好，其他同学有没有补充的？生：还有一项是两个数的乘积的2倍师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？生：不是，而是刚才两项的底数．师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征．再请一位同学来综合一下．生：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍．右边是两个数的和或差的平方．师生共同总结：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即222)(2bababa同时归纳完全平方式的定义：把形如222baba和222baba的式子叫作完全平方式．〖评析〗让学生经历观察．类比．归纳．概括的过程，探究出将乘法公式逆用就能解决问题，再5来归纳出分解因式的完全平方公式．发展了学生的逆向思维和分析能力和推理能力，增强学生的符号感，发展了学生有条理地思考的能力．师：判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由．出示问题：判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由．(1)442aa(2)2244yxx(3)2224baba(4)22baba(5)962xx(6)25.02aa生：第一题是完全平方式．有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是减去这两个数的积的2倍．生：第二题是完全平方式，有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是加上这两个数的积的2倍．生：第三．四题不是完全平方式，因为中间一项不是两个数的乘积的2倍．生：第五题是完全平方式．三项，有两项能写成平方的形式，另一项也是两个数的积的2倍．师：其它同学同意他的意见吗？有没有补充的？生：这一题不是完全平方式，虽然有两部分能写成平方的形式，但这两项不是平方和师：同意他的意见吗？生齐答：同意．生：第六题是的．师：看来我们在观察一个多项式是否符合完全平方式的特点时，不仅要找有没有两项能够写成平方的形式，同时还要看这两项的符号是否同为正，更要看另一项是不是这两数的积的2倍．像刚才的第3题和第4题，第5题都只满足特征中的一部分．〖评析〗在学习了用完全平方公式分解因式后，再观察与完全平方结构类似的几个变式，判断能否运用完全平方式进行分解因式，达到检验．巩固和学以致用的目的，培养了学生有条理思考及语言表达能力．例5分解因式（1）924162xx；（2）224yxyx师：如何分析？生：在（1）中，22416xx，239，34224xx，所以924162xx是一个完全平方式，924162xx＝234x教师板演：924162xx2233424xx.6=234x生:在（2）中，形式上不满足完全平方式的特点，但是224yxyx＝)4(22yxyx，变形后括号内的多项式是完全平方式，可以分解因式．教师板演：224yxyx=)4(22yxyx=-22222yyxx=22yx师：由刚才的例子，我们同学能否发现将因式分解为两数的和或差的平方，如何确定是两数的和还是两数的差的平方呢？生：由符号来决定．师：能不能具体一点？生：由中间一项的符号决定，就是两个数乘积2倍这项的符号决定，是正，就是两个数的和；是负，就是两个数的差．师：总之，在分解完全平方式时，要根据第二项的符号来选择运用哪一个完全平方公式．〖评析〗学生的思维很活跃，对于学生的回答表示充分的肯定，确保学生积极地参与到学习活动中来，通过积极参与与有效参与，来达到知识和能力．过程和方法，情感态度价值观三维目标的全面落实．例6分解因式（1）;36322ayaxyax（2）36122baba（小组合作学习）生：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解．在（2）中，将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式36122mm．学生板演．22222323363yxayxyxaayaxyax222266623612bababababa教师点评．〖评析〗教师将独立思考和小组合作交流有机结合，这样保证了人人参与活动，通过组内交流又使每个学生的思维得到碰撞，情感得到交流，极大地达到了教学效果．师：把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？出示问题：（1）44yx；（2）33abba；7（3）22363ayaxyax；（4）22)()(qxpx；（5）36)(12)(2baba生：（1）可以把x4．y4看作（x2）2．（y2）2，可以利用平方差公式，得到44yx＝（22yx）（22yx）而22yx还可以利用平方差公式进行分解得到44yx＝（22yx）（22yx）＝（x－y）（x＋y）（22yx）．（2）（3）中不能用公式，但是各项存在公因式，于是可以先提公因式，然后进行分解，得到（2）))(()(2233babaabbaababba；（3）22222)(3)2(3363yxayxyxaayaxyax；（4）中若把（x＋p）和（x＋q）看作一个整体，可以利用平方差公式分解．（5）把（a＋b）看作一个整体，恰好是完全平方式．学生板演．师：从中你可以发现因式分解的一般步骤吗？生：（1）先提公