八年级数学平方根北师大版

优胜教育优胜教育初二数学平方根北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：1、无理数的概念2、平方根的概念、表示、求法3、算术平方根的表示、概念、求法二、教学目标1、掌握无理数的概念，会判断一个数是否是无理数。2、理解平方根的概念，会求一个非负数的平方根。3、理解算术平方根的概念，会求一个非负数的算术平方根。4、能应用平方根和算术平方根解决问题。三、知识要点分析1、无理数的概念（这是重点）无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.带根号的数不一定是无理数,如9;无理数也不一定带根号,如圆周率.2、算术平方根（这是重点）如果一个数x的平方等于a即ax2，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作“a”，读作根号“a”；规定0的算术平方根即0=0，如422，那么2叫做4的算术平方根。3、平方根（这是重、难点）平方根：如果一个数x的平方等于a，即ax2，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）；①平方根的意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根；②开方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。【典型例题】考点一：无理数的概念例1.如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的AC、BD相交于O，试说明边长AB、BC、CD、AD和对角线AC、BD的长度哪些是有理数，哪些不是有理数。【思路分析】从图上看AC、BD、AB是有理数，因此BC、CD、AD的长度不是有理数．优胜教育优胜教育解：AC=7，BD=5是有理数，而AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理AB2=32+4=25,AB=5是有理数，而BC2=32+32=18,CD2=32+22=13,AD2=42+22=20,因此BC、CD、AD的长度不是有理数。方法与规律:利用网格的特点进行分析，并借助勾股定理及数的平方来判定什么是有理数，什么不是有理数。例2如图，在△ABC中，AC＝b,CD=5，高AD可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?【思路分析】找出直角三角形,利用勾股定理计算AD的平方是b2-25，由于b的取值不同,结果不一样，不妨试一试解：可能是整数，可能是分数，也可能是无理数.方法与规律：根据有理数的特点，只要这个数是整数或分数则属于有理数，否则，不是有理数。考点二：算术平方根例3.求下列各数的算术平方根。（1）225（2）12125（3）971（4）2)32(【思路分析】求一个正数的算术平方根，只要先找出一个正数的平方等于这个数，不必考虑负数平方等于这个数；如果一个数为带分数，一般先化成假分数，再求其算术平方根。解：（1）因为152=225，所以225的算术平方根是15，即225=15。（2）因为2)115(=12125，所以12125的算术平方根是115，即12125=115。（3）197=916，因为（34）2=916，所以197的算术平方根是34（或131），即)971(=131。（4）因为（－32）2=（32）2，所以2)32(的算术平方根是32，即2)32(=32方法与规律:根据算术平方根的定义，首先确定哪个数的平方等于这个数，然后求出这个数的算术平方根。考点三：平方根例4：求下列各数的平方根。(1)0.36(2)(-1.3)2(3)49462(4)31【思路分析】求一个正数的平方根，先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，互为相反数，不能只考虑正数而把负数遗漏了；如果一个数为带分数则一般先化为假分数；如果这个正数a不能写成有理数的平方形式，则可以将a的平方根表示成±a。解：（1）因为（±0.6）2=0.36，所以0.36的平方根是±0.6，即±36.0=±0.6。优胜教育优胜教育（2）因为22)3.1()3.1(，所以2)3.1(的平方根是±1.3，即±2)3.1(=±1.3。（3）4914449462，因为（±712）2=49144，所以49144的平方根是±712，即±49462=±712。（4）31的平方根是±31。方法与规律:掌握平方根的定义，首先确定哪个数的平方等于这个数，然后求出这个数的平方根，注意书写。考点四：平方根与算术平方根的应用例5：已知一个数的两个平方根分别是2x+1与3-x，求这个数。【思路分析】根据平方根的性质，若一个数有两个平方根，它们互为相反数，所以2x+1与3-x互为相反数，即（2x+1）+(3-x)=0.解：根据题意,得（2x+1）+(3-x)=0,解这个方程,得x=-4当x=-4时,2x+1=-7,3-x=7,所以这个数是49.友情提示：本题是逆用平方根的性质.例6：借助计算器计算下列各题:(1)2234=______;(2)_____;334422(3)_____;33344422(4)_____;3333444422仔细观察上面几道题及其计算的结果,试猜想:个个20092200923...3334....444=______.【思路分析】仔细观察可得,猜想题是(1)—(4)的拓展,用计算器得出(1)—(4)的结果后,便可发现规律:被开方数是两个正整数的平方和,这两个数分别是由4和3组成的,且数字4的个数和3的个数相等,因此当被开方数是2009个4组成的数与2009个3组成的数的平方和时,所得结果应为2009个5组成的数。解:(1)5(2)55(3)555(4)5555猜想:个20095...555方法与规律总结:本题是探索题,也就是找规律,因此要认真分析,找出题目中的共同点,从而发现规律。例7：自由下落物体的高度（h）与下落时间t(秒)的关系为29.4th，有一铁球从80米高的建筑物上自由下落到地面需要多少时间？（精确到1秒）【思路分析】把h=80代入已知的公式中便可得出一个关于t的方程，利用平方根的概念求解即可，注意把不符合题意的解舍去。解：把h=80代入29.4th中，得29.480t，所以,33.169.4802t则,433.16t因为t表示时间只能取正值，所以t=-4舍去，因此t=4.答：这一铁球从80米高的建筑物上自由下落到地面需要4秒。【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲了无理数、平方根及算术平方根。在利用平方根或算术平方根的概念解题时要注意把问题转化成方程的问题求解，也就是利用了方程的数学思想。优胜教育优胜教育预习导学案（3）(立方根）一、预习前知1、什么是立方根？2、如何求一个数的立方根？3、什么是实数？二、预习导学探究与反思探究任务1：立方根1、回答课本提出的两个问题2、归纳出立方根的概念【反思】（1）一个正数有几个立方根?（2）负数有没有立方根？探究任务2：实数的概念1、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。2、用数轴表示无理数.【反思】（1）a是一个实数，则其相反数是_____,绝对值是______？（2）如果a≠0,则其倒数是多少?1.下列说法正确的是（）A.一个数总大于它的立方根；B.非负数才有立方根；C.任何数和它的立方根的符号相同；D.任何数都有两个立方根。2.33x，则x的值是（）A.-9B.27C.±27D.-273．-8的立方根与4的算术平方根的和是（）A.0B.4C.-4D.0或44．不用计算器，估计54的大小应在（）A、6~7之间B、7~7.5之间C、7.5~8之间D、8~9之间5．通过估算判断：52___0,103___06．绝对值小于7的整数有______.7．512与34的大小关系是______.优胜教育优胜教育【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、认认真真选(每小题4分,共40分)1.下列关于数的说法正确的是（）A.有理数都是有限小数B.无限小数都是无理数C.无理数都是无限小数D.有限小数是无理数2.数351.021021021…是（）A.无理数B.有理数C.有限小数D.以上都有可能3.下列各式中正确的是()A.25=±5B.)3(2=-3C.±36=±6D.100=104.当x=-43时,2x的值为()A.43B.-43C.±43D.12a5.下列说法正确的是（）A.4的平方根是±2B.-a2一定没有平方根C.0.9的平方根是±0.3D.a2-1一定有平方根6.已知正方形的边长为a，面积为S，则（）A.S=aB.S的平方根是aC.a是S的算术平方根D.a=±S*7.下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a2的算术平方根是a；④（π-4）2的算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数。其中，不正确的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个8.已知25x，则x为（）A.5B.-5C.±5D.以上都不对9.当0x≤时，2x的值为（）A.0B.xC.xD.x10.16的算术平方根和25的平方根的和是（）A.9B.-1C.9或-1D.-9或1二、仔仔细细填(每小题4分,共32分)优胜教育优胜教育11.下列各数：①3.141②0.33333…③π④－32⑤0.3030003000003…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）⑥0.401.其中是有理数的有_________；是无理数的有__________.（填序号）12.一个正数的平方根有，它们的和为。*13.0.0036的平方根是，1225136的算术平方根是，81的算术平方根是。14.±2)25142(=_______.15.若x+x=0，则x=。16.若a的平方根为±3，则a=。*17.如果一个正数的平方根是a+3与2a-15,则这个正数是______.18.已知032ba，则______)(2ba.三、平心静气做(共28分)19.(本题8分)设面积为5π的圆的半径为y，请回答下列问题：（1）y是有理数吗？请说明你的理由；（2）估计y的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计.优胜教育优胜教育【试题答案】一、1．C【思路分析】无理数是指无限不循环小数,也就是说无理数都是无限小数.2.B【思路分析】数351.021021021…是一个无限循环小数,即该数是一个有理数.3.C【思路分析】A选项,25是指求25的算术平方根,故25=5;B选项,2)3(=3;D选项,负数没有算术平方根.4.A【思路分析】2x是指2x的算术平方根,故本题答案是A.5.A【思路分析】A.4=2,求4的平方根,即是求2的平方根,是±2;B选项,当a=0时,-a2有平方根;C选项,0.9的平方根是±10103;D选项,当a2-1是负数时,没有平方根.6.C【思路分析】根据算术平方根的概念,可知本题答案是C.7.C【思路分析】①,负数没有算术平方根;②,0的算术平方根是0;③,a可能是负数,如果是负数,则不成立;④π-4是负数,一个非负数的算术平方根是非负数;均不正确.8.C【思路分析】2x的算术平方根是5,故2x=25,25的平方根有两个,±5.9.B【思路分析】2x意为求2x的算术平方根,其平方根±x,其中正的平方根是其算术平方根,x0,-x0,所以其算术平方根是-x.10.C【思路分析】16的算术平方根是4,25的平方根是±5,故本题答案是C.二、11.①②④⑥,③⑤【思路分析】分数和无限循环小数都是有理数;无限不循环小数是无理数.12.两个,0【思路分析】一个正数的平方根有两个,这两个平方根互为相反数,故和为0.13.±0.06,1519,3【思路分析】求一个带分数的算术平方根时,先化成假分数.81=9,即是求9的算术平方根.14.±2564【思路分析】根据平方根的概念求解.15.0【思路分析】只有非负数才有算术平方根,故00xx,解得x=0.16.81【思路分析】81a,9a,9)3(2即则.17.49【思路分析】由一个正数的两个平方根互为相反数知a+3+2a-15=0,解得a=4,所以这两个平方根是±7,这个正数是49.18.25【思路分析】根据算术平方根的非负性知a-2=0,且b+3=0,解得a=