傅里叶级数FourierSeries

傅里叶级数FourierSeries法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。010101122cossinsinsinsin2...1,2,...nnnnnnftaantbntacntactctn1来源法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。2公式给定一个周期为T的函数xt，那么它可以表示为无穷级数：2jktTkkxtae（1）其中，j为虚数单位，ka可以按下式计算：21jktTkTaxtedtT（2）注意到2jktTkfte是周期为T的函数，故k取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=1时具有基波频率02T，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等。3性质收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，xt须绝对可积；在任一有限区间中，xt只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，xt只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在xt的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和xt，那么xt在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：20coscos0mxnxdxmn20sinsinnxnxdx20coscosnxnxdx奇偶性奇函数0fx；可以表示为正弦级数，而偶函数efx；则可以表示成余弦级数：0sinkfxbkx0cos2ekafxakx只要注意到欧拉公式：cossinjej，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。广义傅里任何正交函数系，如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x）满足封闭性方程：（4）那么级数（5）必然收敛于f(x），其中：（6）事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：成立，这称作贝塞尔(Bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基，向量x在上的投影总为。