傅里叶变换在信号与系统系统中的应用

河北联合大学本科毕业设计（论文）2011年5月24日题目傅里叶变换在信号与系统中的应用院系理学院专业班级07数学一班学生姓名刘帅学生学号200710050113指导教师佟玉霞题目傅里叶变换在信号与系统中的应用专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113主要内容、基本要求、主要参考资料等主要内容傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。基本要求通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。参考资料[1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社2006年3月修订二版[2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社[3]《通信系统》第四版SimonHaykin著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈连丰审校电子工业出版社[4]《信号与系统—连续与离散》第四版RodgerE.Ziemer等著肖志涛等译腾建辅审校电子工业出版社[5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社[6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社[7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社[8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电子科技大学出版社[9]百度百科傅里叶变换[10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社[11]A．V．Oppenheim,A.S.WillskywithS.H.Nawab.Siganalsandsystems(Secondedition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社完成期限指导教师专业负责人2010年11月1日目录1.引言.............................................................12.傅里叶变换.......................................................12.1傅里叶变换的提出及发展......................................12.2傅里叶变换定义..............................................22.3傅里叶变换的分类............................................3傅里叶变换的性质3.傅里叶变换在滤波技术中的应用.....................................43.1滤波的概念..................................................43.2理想选择性滤波器............................................43.3系统的物理可实现性..........................................64.傅里叶变换在调制与解调技术中的应用...............................74.1调制与解调的原理............................................84.2正弦调制过程................................................94.3相干解调...................................................105.傅里叶变换在抽样技术中的应用....................................115.1理想抽样...................................................115.2抽样的恢复.................................................135.3零阶抽样保持...............................................156.频分复用与时分复用..............................................177.结束语..........................................................19参考文献..........................................................20课程设计（报告）1.引言傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的。这方面的问题也称为傅立叶分析。傅立叶分析的研究与应用至今已经历了一百余年。1822年法国数学家傅立叶(J．Fourier,1768—1830)．提出并证明了将周期函数展开为正弦函数的原理．莫定了傅立叶变换的理论基础。进入20世纪以后。人们认识到，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用频率域(颍域)的分析方法较之经典的时同域(时域)方法有许多突出的优点。当今。傅立叶分析方法已经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。随着计算机、数字集成电路技术的发展。在傅立叶变换方法中出现了所谓的”快速傅立叶变换”(F丌)．目前快速傅立叶变换的研究与应用已相当成熟，而且仍然在不断更新与发展。傅立叶变换不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中．而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关效学、物理和工程技术领域中得到广泛普遍的应用。滤波、调制和抽样，将模拟信号数字化；对信号进行处理改善信号性能，产生新的较理想信号。另外通过调制，使不同频率，不同时域信号可同时发送，从而达到节省频带的目的，即所谓时分复用、频分复用。电话，电视等也都涉及到傅里叶的变换。傅里叶分析方法的建立经历了一段漫长的历史，涉及到许多人的工作和许多物理现象的研究。当今傅里叶分析法已经成为信号分析与系统不可缺少的重要工具。2.傅里叶变换2.1傅里叶变换的提出及发展1804年，法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解。在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶变换的起源。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦课程设计（报告）基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究。最初，傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。“任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。利用这一点，傅里叶变换可通过对相对简单的事物的研究来了解复杂事物，而且现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质：（1）傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子。（2）傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。（3）正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。（4）著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段。（5）离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。2.2傅里叶变换定义若)(tf在任一有限区间上满足狄利克雷条件，且)(tf在（－∞，＋∞）上绝对可积（如下积分收敛），即：dttf)(（1）则有下式的傅立叶变换成立：dtetfFtj)()(（2）课程设计（报告）傅里叶逆变换：deFtftj)(21)(（3）其中，F(ω)称为)(tf的象函数，)(tf称作F(ω)的原函数。2.4傅里叶变换的分类连续傅里叶变换：一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数形式，如式3。该式其实表示的是连续傅里叶变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transformpair)。一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（FractionalFourierTransform）。当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosinetransform)或正弦转换(sinetransform).另一个值得注意的性质是,当f(t)为纯实函数时,F(−ω)=F(ω)成立.离散傅里叶变换：为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数x(n)定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下,使用离散傅里叶变换，将函数x(n)表示为下面的求和形式：10,)(1)(2NnkXNnxknkNje（4）其中X(k)是离散傅里叶变换。直接使用这个公式计算，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度大大降低。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。课程设计（报告）3.傅里叶变换在滤波技术中的应用3.1滤波的概念利用电路容抗或感抗随频率变化的特性，对不同频率的输入信号产生不同的响应，让需要的某一频率的信号顺利的通过，而抑制不需要的其他频率信号，这一过程即为滤波，实现该过程的系统称为滤波器。设滤波器的输入()xt，输出()yt，则有滤波器系统的输入关系如下：()()()xthtyt(5)由时域卷积定理知，式5可转换为()()()XHY(6)其中：()()CFTxtX，()()CFTytY，()()CFThtH由式6知，借助傅里叶变换不仅使运算得到简化，而且为从频域上对信号进行研究，进行频谱分析提供了可能。又由式6知()()/()HYX(7)其中()H称为系统函数，可完全表征系统的性质和特征。因此，若已知输入()xt及要求的输出()yt，对其分别进行傅里叶变换后，便可根据需要设计出适当的滤波系统，从而满足适当地满足实际需要。3.2理想选择性滤波器理想选择滤波的频率特性,具有对某个频率范围内的复指数信号jte或正弦信号cos()t能无失真地通过，在频率范围之外则给予彻底抑制。通常把信号能通过的频率范围称为滤波器的通带，阻止信号通过的频率范围称为阻带，通带的边界频率称为截止频率。根据滤波器通、阻带所处的位置不同，可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等基本滤波器，它们是信号和系统分析中重要的基本系统。课程设计（报告）1、理想低通滤波器理想低通滤波器是指能使某频率范围