初中数学方案设计型问题

初中数学方案设计型问题知识点1、用方程或不等式解决方案设计型问题此类问题属于利用方程、不等式或综合利用方程和不等式解决方案设计型问题。解决这类问题时，首先要弄清题意，根据题意构建恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围，然后再结合实际问题确定方案设计的种数。例1.（黑龙江省哈尔滨市）青青商场经销甲、乙两种商品，已知甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价-进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案。（3）在五一黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？解：（1）设该商场能购进甲种商品x件，则乙种商品为（100-x）件，根据题意，得。解得，则乙种商品为（件）。所以该商场能购进甲种商品40件，乙种商品60件。（2）设该商场购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100-a）件，根据题意，得解得，因为a的值是整数，所以或49或50，即该商场共有三种进货方案，分别为：（方案一）购进甲种商品48件，乙种商品52件；（方案二）购进甲种商品49件，乙种商品51件；（方案三）购进甲种商品50件，乙种商品50件。（3）根据题意，得第一天只购买甲种商品不享受优惠条件，所以甲种商品的件数为。第二天只购买乙种商品有以下两种情况：①购买打九折的乙种商品件数为；②购买打八折的乙种商品件数为；所以这两天他一共可购买甲、乙两种商品（件）或（件）。答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品共18件或19件。知识点2、用函数解决方案设计型问题例2.某文具零售店老板到批发市场选购A、B两种文具，批发价分别为12元/件、8元/件。若该店零售的A、B两种文具的日销量y（件）与零售价x（元/件）均成一次函数关系（如图所示）。（1）求y与x的函数表达式；（2）该店老板计划这次选购A、B两种文具的数量共100件，所花资金不超过1000元，并希望全部售完后获利不低于296元，若按A种文具日销量4件和B种文具每件可获利2元计算，他这次有哪几种进货方案？（3）若A种文具的零售价比B种文具的零售价高2元/件，求两种文具每天的销售利润W（元）与A种文具零售价x（元/件）之间的函数表达式，并说明A、B两种文具零售价分别为多少时，每天的销售利润最大。解：（1）设，则根据图，有解得所以y与x之间的函数表达式为。（2）当件时，（元），则A种文具每件获利（元）。设这次购进A种文具a件，则购进B种文具（100-a）件，依题意，有解得，因为a为整数，所以或49或50，即他有三种进货方案：（方案一）购进A种文具48件，B种文具52件；（方案二）购进A种文具49件，B种文具51件；（方案三）购进A、B两种文具各50件。（3）依题意，得。所以当A种文具零售价为16元/件、B种文具零售价为14元/件时，零售店每天的销售利润最大。知识点3、相关图形方案设计型问题例3.（四川省资阳市）一座建于若干年前的水库大坝横断面如图所示，其中背水面的整个坡面为长90米、宽5米的矩形，现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分为9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花。（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，则。因为米，由勾股定理，得AE=4米。设整修后的斜坡为AB′，由整修后坡度为1：，得。所以∠AB′E=，故AB′=2AE=8（米）。故整修后背水坡面面积为（平方米）。（2）将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80平方米，因为要依次相间地种植花草，有两种方案：第一种是种花5块，种草4块，则需要的费用为：（元）；第二种是种花4块，种草5块，则需要的费用为：（元）；所以应选择种草5块，种花4块，这样共需要花费16000元。知识点4、动手操作方案设计型问题例4.（江苏省无锡市）（1）如图所示，已知在△ABC中，∠A=，∠B，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等的两个角的度数）。（2）已知△ABC，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系。解：（1）如图（1）、（2），共有两种不同的分割方法。（2）设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于点D，在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠ADB，∠CBD=，∠A=。此时若满足条件，只能∠A=∠ABD，即，化简，得。所以，即∠ABC=。②若∠C是底角，则有两种情况。第一种情况：如图，当DB=DC时，则∠DBC=x。在△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x，（1）由AB=AD，可推得，即∠ABC=3∠C，（2）由AB=BD，可推得，即∠ABC=。（3）由AD=BD，得，得，即∠ABC=，而∠C为小于的任意锐角。第二种情况：如图，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=，此时只能有AD=BD，从而∠A=∠ABD=∠C，这与题设∠C是最小角相矛盾。所以当∠C是底角时，BD=BC不成立。