2015级数学物理方程期末试题A-2015

武汉大学2015—2016学年度第一学期《数学物理方法》试卷（A）学院专业班学号姓名分数一、（本题10分）写出下列物理问题的定解问题1.一散热片的横截面为矩形，边长分别为a和b。它的一边处于较高的温度0T，其它三边处于绝热状态，初始温度分布为220(,,)tuxytxy，写出该横截面上的温度分布满足的定解问题。2.一内外半径分别为1R和2R的薄圆环，若圆环的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为，12(,)cosRu，2(,)cosRu，试写出圆环上稳定的温度分布的定解问题。二、（本题10分）定解问题00()(0,0),0()txxxxltuDufxxltuAtuux，若要使边界条件齐次化，求其辅助函数，并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。三、（本题10分）求解一维无界波动问题001(,0)2sin2costtxxtttuuxtuxux四、（本题15分）利用分离变量法求解下列定解问题：两端固定弦的波动问题。xuuuutxuutttxxxxtt2sin200)0,0(04000五、（本题15分）1.（5分）证明:若),(txu是方程0xxtuu的解，则),(2tkkxu（其中,,k为任意常数）仍然是方程0xxtuu的解。2.（10分）设a为常数，求解下列定解问题1)00(,0)()txtuauxtux2)0(,)(,0)()txtuaufxtxtux六、（本题20分）1.（5分）计算积分1112)(dxxPxIl2.（15分）一内、外半径分别为a和2a的均匀球壳，球壳内外均无电荷，球壳内表面上的电势分布为0，球壳外表面上的电势分布为0cosu，求：1)球壳内(2)ara的电势分布；2）将单位正电荷从球壳外表面移到ar3的球面电场力所做的最小和最大功是多少？七、（本题20分）1.（5分）计算积分1300()IxJkxdx若0mkx，0mx是零阶Bessel函数)(0xJ的零点，则积分值为多少？2.（15分）半径为1的圆形膜，边缘固定，初始形状为20),(ttu，初始速度为零。试：1）写出膜的振动的定解问题；2）定解问题的本征值和本征值函数；3）分离变量后，关于)(tT满足的方程的解；4）求出该问题的解。参考公式(1)球坐标中算符2的表达式22222222sin1sinsin11rrrrrr柱坐标中算符2的表达式22222211z(2)Legendre方程0)()1(])()1[(2xynndxxdyxdxd(3)Legendre多项式kllklklxklklkklxP220)!2()!(!2)!22()1()((4)Legendre多项式的递推公式0)()()12()()1(11xlPxxPlxPllll，)0(l(5)Legendre多项式的正交关系kllklxPxP122)()(11(6)整数阶Bessel函数022)!(!)1()(mnmmnxnmmxJnmnmmnxnmmxJ22)!(!)1()((7)Bessel函数的递推关系)()(1xJxxJxdxdnnnn)()(1xJxxJxdxdnnnn(8)广义Fourier展开1)()(mnmnmkJCf20211()()()2anmnmnnmCJkfdaJx