3bian行列式的展开

经济数学线性代数第3讲行列式的展开教师：边文莉下一步,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa例如3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式与代数余子式下一步在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作nijaij1nija.Mij，记ijjiijMA1叫做元素的代数余子式．ija例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD44424134323114121123aaaaaaaaaM2332231MA.23M下一步,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12M,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别下一步定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni,,2,1二、行列式按行（列）展开法则1122jjjjnjnjDaAaAaA1,2,,jn证:我们将分三步来证明此结论，先来证明它的特殊情况，即某行只有一个元素不为0，而其余元素为0时定理成立。下一步（1）当第一行只有位于第一行第一列的元素110annnnnaaaaaaaD21222211100即有.1111MaD又1111111MA,11M从而.1111AaD定理成立。下一步（2）再证阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．ijijAaDniijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD.14442412422211412113333aaaaaaaaaa例如下一步nnnjnijnjaaaaaaaD1111100,1,2,1行对调第行第行行依次与第的第把iiiD得nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1,1,11,11001ijaija下一步,1,2,1对调列第列第列列依次与第的第再把jjjD得nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,,11,1,1110011ija下一步nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,,11,1,12001nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,,11,1,1001ijaija下一步nnnjnijnjaaaaaaaD1111100中的余子式.ijM在余子式仍然是中的在行列式元素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,,11,1,100ijaija下一步故得nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,,11,1,1001.1ijijjiMa于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1,,11,1,100,ijijMaijaija下一步（3）证明一般情况把行列式的第行的每个元素都写成n个数的和的形式。然后利用行列式的性质，把行列式拆成n个行列式的和。nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000i下一步nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa211121100ininiiiiAaAaAa2211ni,,2,1下一步例13351110243152113D03550100131111115312cc34cc下一步0551111115)1(330550261155526)1(315028.4012rr下一步证用数学归纳法21211xxD12xx,)(12jijixx）式成立．时（当12n例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(下一步，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（11n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn就有提出，因子列展开，并把每列的公按第)(11xxi下一步)()())((211312jjininnxxxxxxxxD).(1jjinixx223223211312111)())((nnnnnnxxxxxxxxxxxxn-1阶范德蒙德行列式下一步推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa证行展开，有按第把行列式jaDij)det(下一步,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa可得换成把),,,1(nkaaikjk行第j行第i,时当ji).(,02211jiAaAaAajninjiji同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji相同下一步关于代数余子式的重要性质;,0,,1jijiDDAaijnkkjki当当;,0,,1jijiDDAaijnkjkik当当.,0,1jijiij当，当其中下一步例３计算行列式277010353D解27013D.27按第一行展开，得2700577103下一步0532004140013202527102135D例４计算行列式解0532004140013202527102135D下一步660270132106627210.1080124220532414132525320414013202135215213rr122rr下一步1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.;,0,,.21jijiDDAaijnkkjki当当;,0,,1jijiDDAaijnkjkik当当.,0,1jijiij当，当其中三、小结下一步克莱姆法则nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组,,,,21不全为零若常数项nbbb则称此方程组为非齐次线性方程组;,,,,21全为零若常数项nbbb此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念下一步一、克拉默法则如果线性方程组)1(22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112110下一步.DDx,,DDx,DDx,DDxnn232211其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即jDDjnnnj,nnj,nnnj,j,jaabaaaabaaD11111111111那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为1下一步证明njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111得个方程的依次乘方程组列元素的代数余子式中第用,1,,,21nAAAjDnjjj在把个方程依次相加，得n下一步,111111nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知,.,,2,1njDDxjj.DDx,,DDx,DDx,DDxnn232211,Dxj的系数等于上式中;0的系数均为而其余jixi.jD又等式右端为于是2当时,方程组有唯一的一个解0D2下一步由于方程组与方程组等价,21故.DDx,,DDx,DDx,DDxnn232211也是方程组的解.1下一步二、齐次线性方程组的相关定理2000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解.0D22下一步定理齐次线性方程组2有非零解的充要条件是它的系数行列式为零.000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解.系数行列式0D下一步例1用克拉默则解方程组.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解6741212060311512D212rr24rr127702120603113570下一步12772121357212cc232cc2770103532733,2767402125603915181D,8167012150609115822D,108下一步60412520693118123D,2707415120903185124D,27,3278111DDx,42710822DDx,1272733DDx.1272744DDx下一步例2问取何值时，齐次方程组,01,032,0421321321321xxxxxxxxx有非零解？解111132421D101112431下一步3121431331212