人教a版必修五课件基本不等式的应用(58页)

第三章不等式系列丛书进入导航第三章不等式第三章不等式系列丛书进入导航3.4基本不等式：ab≤a＋b2人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航第2课时基本不等式的应用课时作业课前自主预习课堂互动探究随堂知能训练人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航1.理解并掌握基本不等式及变形应用．2.会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航课主自前预习课前预习·········································明确目标人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航1．运用不等式求一些最值问题．用a＋b≥2ab求最小值；用ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22求最大值．新知初探人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航2．若p，k为常数，a，b是正实数，则(1)若a·b＝k，当且仅当a＝b时，a＋b有最小值；(2)若a＋b＝p，当且仅当a＝b时，a·b有最大值.2k14p2人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航3．运用以上结论求最值要注意下列三个问题：(1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．简称“”．一正、二定、三相等人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航1．利用基本不等式求最值应注意什么？思考感悟提示：利用基本不等式求最大值或最小值时应注意：(1)x，y一定要都是正数；(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航2．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．如x2＋2＋1x2＋2中，虽然x2＋2与1x2＋2的积为定值1.但当x2＋2＝1x2＋2时有x2＝－1不成立．∴x2＋2＋1x2＋2≥2中等号不成立．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航3．多次使用基本不等式应注意什么问题？提示：运用基本不等式时，“正、定、等”缺一不可，但有些题中由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围，而导致等号成立的条件不具备，不能直接运用基本不等式，这时应进一步转化，使其转化成能用不等式求解或用其他方法求解．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航课动互堂探究例练结合·········································素能提升人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航类型一利用基本不等式求最值[例1](1)若x0，求函数y＝x＋4x的最小值，并求此时x的值；(2)设0x32，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；(3)已知x2，求x＋4x－2的最小值；典例导悟人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航[分析]利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解之．[解](1)当x0时，x＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x＝4x，即x2＝4，x＝2时取等号．∴函数y＝x＋4x(x0)在x＝2时取得最小值4.人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航(2)∵0x32，∴3－2x0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[2x＋3－2x2]2＝92.当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)．∴函数y＝4x(3－2x)(0x32)的最大值为92.人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航(3)∵x2，∴x－20，∴x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2≥2x－2·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，等号成立．所以x＋4x－2的最小值为6.人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航[点评]在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航变式训练1(1)设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正数，则xy的最大值是()A．400B．100C．40D．20人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航(2)已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是()A．10B．25C．5D．210(3)已知x3，则f(x)＝4x－3＋x的最大值是________．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航解析：(1)xy≤(x＋y2)2＝400，当且仅当x＝y＝20时等号成立．(2)a＋b≥2ab＝210，当且仅当a＝b＝10时等号成立．(3)∵x3，∴x－30.∴f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航＝－[43－x＋(3－x)]＋3≤－243－x·3－x＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时取等号．∴f(x)的最大值为－1.答案：(1)A(2)D(3)－1人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航[例2]求f(x)＝x2＋4x2＋3＋1的最小值．[分析]如果把f(x)＝x2＋4x2＋3＋1写成x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1≥2＋1＝3，求得f(x)的最小值为3，则所得结果是错误的，原因是忽视了等号成立的条件，事实上方程x2＋3＝1x2＋3无解，所以等号不成立．正确的处理方法是利用函数单调性求最值．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航[解]f(x)＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1.令t＝x2＋3(t≥3)，则原函数变为y＝t＋1t＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数，所以当t＝3时，y＝t＋1t＋1取得最小值433＋1.人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航所以，当t＝3，即x＝0时，f(x)＝x2＋4x2＋3＋1取得最小值433＋1.人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航变式训练2已知x∈(0，π)，则y＝sinx＋4sinx的最小值是________．解析：方法1：∵x∈(0，π)，∴sinx∈(0,1]，∴y＝sinx＋1sinx＋3sinx≥2sinx·1sinx＋3sinx＝2＋3sinx≥2＋31＝5.当且仅当sinx＝1sinx，即sinx＝1时，取“＝”号．所以ymin＝5.人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航方法2：令sinx＝t，t∈(0,1]，y＝f(t)＝t＋4t，则函数y＝f(t)＝t＋4t在t∈(0,1]上是减函数．∴ymin＝f(1)＝5.答案：5人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航类型二利用基本不等式求取值范围[例3]若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航[解]由ab＝a＋b＋3求出b，将ab转化为关于a的函数，再求范围．由已知，得b(a－1)＝a＋3，由于a，b都是正数，所以a1，且b＝a＋3a－1.于是ab＝a·a＋3a－1＝[(a－1)＋1]·a＋3a－1＝a＋3＋a＋3a－1＝a－1＋4a－1＋5≥2a－1·4a－1＋5＝9.人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航当且仅当a－1＝4a－1(a1)，即a＝3时，等号成立，此时b＝3.所以ab的取值范围为[9，＋∞)．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航[点评]本例的求解建立在函数思想上，通过已知的等式，将两个变元转化为一个变元．利用均值不等式，求函数的值域，是解决这类问题常用的方法．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航变式训练3已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝5，若lgx＋lgy≤lgk恒成立，则k的最小值是________．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航解析：因为x，y∈(0，＋∞)，所以xy≤(x＋y2)2，所以lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg(x＋y2)2＝lg254.当且仅当x＝y＝52时取得等号，所以kmin＝254.答案：254人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航类型三基本不等式的实际应用[例4](2012·郑州检测)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S平方米．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航(1)试用x表示S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航[分析]读题提取a与x的等量关系―→表示S―→借助不等式求Smax.[解](1)由图形知，3a＋6＝x，∴a＝x－63.则总面积S＝(1800x－4)·a＋2a(1800x－6)＝a(5400x－16)＝x－63(5400x－16)＝1832－(10800x＋16x3)．即S＝1832－(10800x＋16x3)(x0)．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航(2)由S＝1832－(10800x＋16x3)，得S≤1832－210800x·16x3＝1832－2×240＝1352，当且仅当10800x＝16x3，此时x＝45.即当x为45米时，S最大，且S最大值为1352平方米．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航[点评]1.用不等式解决实际问题的最值时，务必注意验证等号成立的条件．2．在等号取不到的情况下，时常借助函数单调性求最值．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航变式训练4如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10000m2.鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2m宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航解：设每个鱼塘的宽为xm，则x0，且AB＝3x＋8，AD＝10000x＋6，则总面积y＝(3x＋8)(10000x＋6)＝30048＋80000x＋18x≥30048＋280000x·18x＝32448，当且仅当18x＝80000x，人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航即x＝2003时，等号成立，此时10000x＝150，即鱼塘的长为150米，宽为2003米时，占地面积最少．人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航易错点：多次使用基本不等式时，公式运用不正确[错题点辨析]运用基本不等式时，“一正、二定、三相等”缺一不可，但有些题中由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围，而导致等号成立的条件不具备，不能直接运用基本不等式，这时应进一步转化，使其转化成能用基本不等式求解或用其他方法求解．自我纠错人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航[错题展示]已知x，y∈(0，＋∞)，且1x＋4y＝1，求x＋y的最小值．[错解]因为x0，y0，所以1＝1x＋4y≥2×2xy＝4xy.所以xy≥4，从而x＋y≥2xy≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8.人教A版·数学·必修5第三章3.4第2课时系列丛书进入导航[错因分析]上述解法中，连续使用两次基本不等式