人教版八年级上册数学第13章《轴对称》小结与复习

备课大师：免费备课第一站！://●知识梳理1.如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形＿＿＿＿＿，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴.温馨提示：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称.3.经过线段＿＿＿＿＿并且＿＿＿＿＿这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.4.＿＿＿＿＿上的点与这条线段两个端点的距离相等.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的＿＿＿＿＿.温馨提示：⑴如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的＿＿＿＿＿；⑵轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的＿＿＿＿＿.5.点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为＿＿＿＿＿，点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为＿＿＿＿＿.6.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角＿＿＿＿＿（简写成：＿＿＿＿＿）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高＿＿＿＿＿（简写成：＿＿＿＿＿）.7.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也＿＿＿＿＿（简写成“等角对等边”）.8.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角＿＿＿＿＿，并且每一个角都等于＿＿＿＿＿.9.等边三角形的判定：（1）三个角＿＿＿＿＿的三角形是等边三角形.（2）有一个角是600的＿＿＿＿＿是等边三角形.10.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的＿＿＿.●考点呈现考点1判别轴对称图形备课大师：免费备课第一站！://例1（2013年咸宁）下列学习用具中，不是轴对称图形的是（）分析：根据轴对称图形的概念：把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，对各选项逐一判断即可.解：选项A、B、D是轴对称图形，选项C不是轴对称图形.故选C．考点2线段的垂直平分线的性质例2（2013年泰州）如图1，在△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm．分析：根据线段垂直平分线的性质，可得DC=DB，进而可确定△ABD的周长．解：因为l垂直平分BC，所以DB=DC.所以△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．故填6.考点3画轴对称图形例3（2013年哈尔滨）如图2所示，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A，B，M，N均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C.分析：过点A画直线MN的垂线，垂足为O，在垂线上截取OD=OA，D就是A关于直线MN的对称点；同理，画出点B关于直线MN的对称点C；连接BC，CD，DA，即可得到四边形ABCD.解：正确画图如图3所示.例4（2013年重庆）作图题：（不要求写作法）如图4所示，△ABC在平面直角坐标ADCB图1图2图3备课大师：免费备课第一站！://系中，点A，B，C的坐标分别为A（－2，1），B（－4，5），C（－5，2）．⑴作△ABC关于直线l：x＝－1对称的△A1B1C1，其中，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；⑵写出点A1，B1，C1的坐标．分析：⑴根据网格结构找出点A，B，C关于直线l的对称点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；⑵直接根据平面直角坐标系写出点A1，B1，C1的坐标．解：⑴画△A1B1C1如图5所示．⑵A1（0，1）、B1（2，5）、C1（3，2）．考点4关于x轴或y轴对称的点的坐标例5（2013年遂宁）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（）A.(－3，2)B.（－1，2）C.(1，2)D.(-1，-2)分析：先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解.解：因为将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，所以点A′的坐标为（－1，2）.所以点A′关于y轴对称的点的坐标是（1，2）.故选C.考点5等腰三角形的性质例6（2013年台湾）如图6，在长方形ABCD中，M为CD中点，分别以B，M为圆心，BC，MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为（）图4图5图6备课大师：免费备课第一站！://．20°B．35°C．40°D．55°分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据“等边对等角”求解即可．解：因为分别以B，M为圆心，BC，MC长为半径的两弧相交于点P，所以BP=BC，MP=MC.因为∠PBC=70°，所以∠BCP=（180°－∠PBC）=（180°－70°）=55°.在长方形ABCD中，∠BCD=90°，所以∠MCP=90°－∠BCP=90°－55°=35°.所以∠MPC=∠MCP=35°．故选B．考点6等腰三角形的判定例7（2013年河北）如图7所示，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里分析：根据题意，可得∠M=70°，∠N=40°，在△MNP中求得∠NPM的度数，证明△MNP是等腰三角形，即可求解．解：依题意，知MN=2×40=80（海里），∠M=70°，∠N=40°，所以∠NPM=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°.所以∠NPM=∠M.所以NP=MN=80海里．故选D.考点7等边三角形的性质例8（2013年黔西南州）如图8，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为．分析：根据等边三角形的性质，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数.解：因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°，∠ACD=120°.因为CG=CD，所以∠CDG=30°，∠FDE=150°.因为DF=DE，所以∠E=15°．故填15°.考点8含300角的直角三角形的性质图9图7图8备课大师：免费备课第一站！://例9（2013年泰安）如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．分析：根据题意推得∠DBE=30°，则在Rt△DBE中由“30°角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度.解：因为FD⊥AB，所以∠ACB=∠FDB=90°.因为∠F=30°，所以∠A=∠F=30°．又DE垂直平分线AB，所以∠EBA=∠A=30°.因为DE=1，所以BE=2DE=2．故填2．●误区点拨误区1轴对称含义理解不清致错例1如图1中的（1）、（2）两个图形成轴对称，请画出它们的对称轴.错解：如图1所示的直线MN.剖析：沿直线MN对折，在直线MN两旁的图形的确可以互相重合，但这里要求的是画（1）、（2）的对称轴，而MN并不是这两个图形的对称轴.画成轴对称的两个图形的对称轴时要注意所指的是哪个两个图形，特别注意当这两个图形本身也是轴对称图形时，不要把各自图形的对称轴作为两个图形的对称轴.正解：如图1所示的直线PQ.误区2对轴对称的性质理解不深致误例2如图2，已知A，C两点关于BD对称，下列结论：①OA=OC；②OB=OD；③AD=CD；④AB=CB.其中正确的有（填序号即可）.错解：填①②③④.剖析：错解“A，C两点关于BD对称”错误理解为“AC，BD互相垂直平分”，实际上OA=OC，AB=CB，AD=CD成立，但OB=OD不一定成立.正解：填①③④.D图2OCBA图1（1）（2）MNPQ备课大师：免费备课第一站！://●跟踪训练1.（2013年铁岭）下列图形中，是轴对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.（2013年山西）如图1所示，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（）A．1条B．2条C．4条D．8条3.（2013年德州）如图2，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）A.680B.320C.220D.1604.（2013年广州）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB=____________.5.如图3，△ABC与△A1B1C1关于直线m成轴对称，若∠A=350，∠B=550，则∠C1的度数为____________.6.（2013年盐城改编）如图4-①是3×3正方形网格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图4-②中的四幅图就视为同一种图案，试画出两种不同图案（不同于图4-②）.图1图2②①ABCD图4AA1CC1B1B图3m备课大师：免费备课第一站！://若在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的的结论吗？⑴回答：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？答：__________（填“相等”或“不相等”）；⑵证明⑴中你的结论.要求：用图5中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．轴对称小结与复习知识梳理：略.跟踪训练：1.D2.C3.B4.75.9006.解：答案不唯一，给出两种如图所示.7.解：⑴相等⑵已知：在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别为中线，求证：BD=CE.证明：∵BD，CE分别为中线（已知），∴AD=21AC，AE=21AB（中线的定义）.∵AB=AC(已知），AEDCB图5②①备课大师：免费备课第一站！://∴AD=AE.在△ABD和△ACE中，AD=AE，∠A=∠A（公共角相等），AB=AC，∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.