第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题

第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题前面重点讨论了弹塑性力学的平面问题。关于梁的弯曲问题由于空间维度的简化，作为平面应力问题在材料力学中比较成功地得到了解决，我们只是在平面问题中进行了检验。§8-1弹性力学问题的一般解一、位移法现在我们将对一般空间弹性力学问题的解法给予理论分析，并举出解法实例。在一般求解边值问题时，按照未知量的不同有位移法与应力法，下面分别来进行讨论。222(46)xxyyzzxyxyyzyzzxzxeGeGeGGGG(42)xyzxyyzzxuxvywzuvyxvwzyuwzx1()(42)2ijijijuu2(46)(1)(12)(1)ijijijijijEEeeG若以位移为基本未知量，必须将泛定方程改用位移来表示。现在来进行推导：将式(4-2)代人式(4-6)得iu再将式(a)对j取导后再代人式(4-1)得（4-1）)(022tuFiijji222()()()()xyzxyyzzxueGxveGyweGzauvGyxvwGzyuwGzx222222222()()0xeuuvvwGGGFxxyxyzxzuvwexyz000yxyxxyxyyzyzyzxzzFxyzFxyzFxyz222()0xeeGGuFxxyyz同理，并采用Laplac算符2222()yyz222()0()0(81)()0xyzeGGuFxeGGvFyeGGwFz如物体内质点处于运动状态，式(8-1)也可写为当体力不计时，有式(8-2)(用位移表示的）平衡(运动)微分方程的展开式为上述式(8-3)或式(8-4)称为Lame(拉梅）方程(或Lame-Navier（纳维叶）方程)。式(8-1)、式(8-2)和式(8-3)的推导过程是平衡方程、几何方程及本构方程的综合，因此以位移形式表示的平衡(运动)微分方程是弹性力学问题位移解法的基本方程。Lame方程在弹性波动力学问题中是极为重要的理论基础。222222222()0()()0()(83)()0()xyzeuGGuFxtevGGvFytewGGwFzt由此，用位移法解弹性力学问题归结为按给定边界条件积分Lame方程。(式中为函数沿物体表面法线n的方向导数)，其展开式为iu()()()()(86)()()xxxyzxyzyyxyzxyzxzxyzxyzuuuuvwFelGlllGlllxyzxxxvvvuvwFelGlllGlllxyzyyy其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得所求问题的边界条件给定的是边界上的位移，则可直接进行计算。iiuu如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件，就要将应力形式的边界条件转换成为位移形式。iijjlF1()(42)2ijijijuu2(46)(1)(12)(1)ijijijijijEEeeG解:以xy为边界面，取z轴垂直向下。采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z轴，则各点位移只在z向有变化。试假设因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出而例8-1设有半空间无限体，容重为p，在上边界上受均布压力q，求体内的位移和应力。pFFFzyx,0体力分量如图8-1所示。0yxFFqFz面力分量在z=0处,于是222222222()0()()0()(83)()0()xyzeuGGuFxtevGGvFytewGGwFzt式中A、B为积分常数。0yxll1zl边界上边界条件式(8-6)前两式自然满足，0yxFF因为只与z有关。其第三式为qFz又()()()()(86)()()xxxyzxyzyyxyzxyzzzxyzxyzuuuuvwFelGlllGlllxyzxxxvvvuvwFelGlllGlllxyzyyy将式(3)代入式(4)得，再代回式(3)，得为了确定常数B，可以将无限的边界条件转化为有限的，即假定半空间体在距平面边界h足够远处已经很小而可以忽略，即，则由式(5)得于是，式(3)给出的位移为G2E,将换成来表示，则位移解答为显然最大位移发生在边界上，由式(8-7)可知将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变，再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答(),(),0(89)1xyzxyyzzxqpzqpz)21)(1(E)1(2EG二、应力法以应力作为基本未知量，需将泛定方程改用应力分量表示。应力方程可由应变协调方程(4-4)和平衡微分方程(4-1)，用应力应变关系就可得到用应力表示的应变协调方程。不过也可从位移方程，即已求得的Lame方程式(8-1)出发来推导：第一步，先将Lame方程转变为三个正应力和的关系式，供以下推证使用。将式(3-27)和式(3-28)代人式(8-1)得将式(d)简化，可得使式(e)对k取导，则再将式(f)乘以以(展开式相加)，可得由于，再使；前两项合并，得eujj令，由式(4-12)知，化简则有第二步，再由Lame方程，利用几何方程与虎克定律得到应力公式。再按式(f)改变下标符号，可写出以下两式将式(j)及式(k)相加，得出利用式(4-5)，式(1)中，简化后得由式(i)并将下标符号i改为k可得于是有其展开式为（用应力表示的协调方程）6个方程可以解6个应力分量）由，式(8-10)可写成xyz当不计体力时，有式(8—12)和式(8—13)称为Beltrami—Michell(贝尔特拉米—米歇尔)方程，也即应力协调方程。由此，用应力法解弹性力学问题归结为按给定边界条件满足平衡微分方程(4-1)和协调方程。注意到：Beltrami—Michell方程是以应力形式表示的变形协调方程，并且在推导中虽然用到了平衡方程(此处引用Lame方程推出)，但推导中进行了对平衡方程的求导[见式(f)]已不能代表平衡方程本身了，故而要重新考虑平衡方程，于是得出上述应力法求解的结论。下一节我们举等截面悬臂梁的弯曲为空间问题按应力求解的实例。现在我们来讨论两种求解方法的特点：按位移法求解弹性力学问题时，未知函数的个数比较少，仅有三个未知量、、。但必须求解三个联立的二阶偏微分方程。uvw应力法系以六个应力分量作为基本未知函数，用应力法虽然比位移法多了三个，而得到比位移法更复杂的方程组，但由于用应力作为未知函数后，边界条件比位移法简单得多，所以对于已知表面力边界的问题，用应力法所得的最后基本方程式，在多数实际问题中反而比位移法简单而且容易求解。应该指出，用位移法解弹性力学问题时，在满足位移表示的平衡方程及边界条件求得物体各点位移后，用几何条件得出应变分量，则变形连续条件自行满足(因为所设位移函数是单值连续函数)。而用应力法解弹性力学问题时，还须注意所谓位移单值性的问题，因为由应变求位移时，需要进行积分运算，这就涉及到积分的连续条件问题。对于单连体(即只有一个连续边界的物体，也就是内部无空洞的物体)问题，如满足平衡方程、应力协调方程及应力边界条件，则应力分量完全确定，其解是唯一确定的。而对于多连体(即内部有空洞的物体)问题，则除了满足上述方程及边界条件外，还要考虑位移的单值性条件(即物体中任意一点的位移是单值的)，这样才可能完全确定应力分量(这一点已经在本书第六章中厚壁筒解答里进行过讨论)。虽然上面所说按应力法求解比位移法求解容易些，但就解决弹性体问题的普遍性而言，按位移求解是更为普遍适用的方法，特别是在弹性波传播理论及在数值计算方法中，例如有限差分法、有限单元法等得到了广泛的应用。对于具体实际问题，应根据问题的特点或者所要求的未知参量，恰当地选择求解方法。不论以位移或应力作为未知函数的位移法或应力法(相当于材料力学和结构力学中求解超静定问题时的位移法与应力法)，在弹塑性力学中为便于构设未知函数，具体解题大多采用逆解法与半逆解法。§8-2任意等截面悬臂梁的弯曲这里将讨论任意等截面悬臂梁，在自由端受力P作用的问题。P力过自由端的弯曲中心T，并与过截面形心A的一个主形心轴平行。取固定端截面的形心为坐标原点，取梁的轴线为z、x、y轴与截面的形心主轴重合，图8-2。用半逆解法解此题，参考材料力学结果，设式中为截面对y轴的惯性矩。yJ将式(a)代入平衡方程(4-1)，略去体力，得zxzy由式(b)前两式知剪应力和与坐标z无关，只是x、y的函数。000yxyxxyxyyzyzyzxzzFxyzFxyzFxyz0,0,0()yzzxzxzxypxbzzxyJ()0,()xyxyzyPlzxaJ使则式(8-14)满足方程式(b)，式中的f(y)为y的任意函数，以式(8-14)代人式(c)，有zx为满足与沿x向的面力边界条件。以式(a)代入应力协调方程(8-13)则式(8-13)的前四式成为恒等式，第五及第六式为并注意到0,0,0()yzzxzxzxypxbzzxyJ,zxzyyx扭转0zyzxyx扭转取应力函数）（yx,210(813)1ijij222222222222222101101101(813)101101101xyzxyyzzxxyzxyyzzxxyz220,()(1)yzyzyPcJ220,()()(1)yPfydxyJ()2(814)zxyyzPfyyJx由式(d)式的第二式积分可知式中C是积分常数。这个常数有简单的物理意义，我们考察悬臂梁的横截面上任意一微分体的转动角(刚性转动位移)220,()()(1)yPfydxyJ22()(1)()(1)yyPfyyJPyfyCJ2()()(1)yPyfyCeJ它沿轴的变化率是由式(i)可见该旋转角沿z方向的变化率(相当单位长度的轴向转角)包括两项；z/z现在再考察边界条件式(4-13)。以式(e)代人式(h)，得实际上，C／(2G)就是单位长度的扭转角。若P力通过截面