体能测试时间安排的优化方案

12007高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：山东城市建设职业学院参赛队员(打印并签名)：1.李德生2.郝海涛3.李稳稳指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模组日期：2007年9月23日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：22007高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3体能测试时间安排的优化方案摘要：本论文对体能测试时间安排问题进行了简化，建立了数学模型。我们针对学生该怎样分组、怎样合理安排班级测试次序，以及怎样使人均测试时间最短等问题进行了分析讨论，并用线性规划模型对测试时间安排进行了优化，最终设计出一个合理的体能测试时间表。建立模型的主要目的是使测试总时间最短，次要目的是在满足整个测试所用时间段最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。我们通过分析，最终确定以10人为一组，对问题进行了研究。对此我们建立了三个模型，逐次解决了每个时间段测试的最多组数、各个时间段内班级的分配情况和如何合理安排各班级具体的测试时间等问题。首先，利用简化思想在不考虑班级录入时间的情况下，得出了能够独立完成每个项目的最短周期，建立了一个在极值条件下的数学模型，并用LINGO软件求出了最优解，即在8:00-12:10和13:30-16:45这两个时间段内所能测试的最多组数，分别为69组和54组。但经过模型验证发现，模型结果与实际情况并不是非常一致，原因可能是我们在建立模型时忽略了一些问题，假设过于简单。于是我们对模型进行了进一步的优化，得出相对合理的结果，分别为68组和53组。其次，通过对第一个模型进行分析，得出要完成所有测试，最少需要四个时间段，于是建立了第二个模型，求解各个时间段内班级的分配问题。然后，我们用MATLAB软件求得了一个以班级为单位、具体的测试时间表，从而满足整个测试所用时间段数最少，且能节省学生等待时间。最后，根据对模型和数据的分析以及联系实际情况，对学校以后的体能测试提出了一些有意义的建议。关键词：线性规划;最短周期;优化思想;录入时间;测试时间4一、问题重述每个学校都可以通过体能测试来了解各个学生的身体状况，以此设置相应的体育锻炼课程，增强学生的体质。[1]某学校安排各班学生进行体能测试，测试的项目、测量仪器以及每个学生的平均测试时间等内容如下表1所示。在测试时，每个学生测试每个项目前都要录入个人学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，若前后测试的学生的学号相连，则可省去录入时间，且同一班学生的学号是相连的。学校安排每天测试的两个时间段为8：00－12：10与13：30－16：45。五项测试的场所最多能容纳150个学生，且测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见下表2。学校对测试的要求：整个测试所需时间最少，同一个班的所有学生须在同一时间段内完成所有项目的测试，且在测试时间段最少的基础上尽量减少学生的等待时间。用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。最后，给学校以后的体能测试就以下几个方面提出建议：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等，并说明自己的理由。表1测量仪器数量及所用时间测试项目测量仪器（台）仪器的单位测试时间（秒）身高与体重310(每人)立定跳远120(每人)肺活量120(每人)握力215(每人)台阶试验2210(每5人)表2体能测试的各班人数班号123456789101112131415人数414544442644422020383725454545班号161718192021222324252627282930人数442030393538382825303620243233班号313233343536373839404142434445人数413351392020443738394240375050班号4647484950515253545556人数4243414245421939751717二、问题分析本题要解决的主要问题是使整个测试所需时间最少。而决定这一问题的关键点有两5个，一是测试仪器的充分利用，二是合理安排班级次序，尽量使每个时间段内测试的人数最多。对于测试仪器的充分利用问题，由于各个项目仪器每次测试人数分别为1人（身高与体重），1人（立定跳远），1人（肺活量），1人（握力），5人（台阶试验），而台阶试验测试仪有两台，所以我们不妨设10人为一小组对每组的测试时间进行研究。在不考虑所有录入时间时，每组独立完成每个测试项目的时间分别为100/3秒（身高与体重测量仪3台），200秒（立定跳远测量仪1台），200秒（肺活量测量仪1台），150/2秒（握力测量仪2台），210秒（台阶试验测量仪2台），可以看出做台阶测试试验所用的时间是最长的，而一个时间段时间一定，若使测试人数达到最大，台阶测试仪必须充分利用。所以我们可将各个项目独立进行的周期T定为210秒，在这一周期内既可满足各个项目能够顺利进行，又最大限度的利用了时间。由于每个组做身高与体重测试需要100秒，做握力测试需要150秒，显然在210秒这一周期内，只用一台身高与体重测量仪和一台握力测量仪就可满足要求。当考虑每组内学生之间的录入时间时，由于每个仪器录入学号的平均需时5秒，如果前后测试的学生学号相连就可省去录入时间，故在测试时尽量减少录入时间就要使每组学生的学号相连。台阶测试仪1前五号后五号图1体能测试流程图为了使问题更加简化，我们可要求每个班的学生在测试前按学号的顺序进行排队并分组。即1-10号为第一组，10-20号为第二组…其他学号依次类推。为了减少做除台阶测试试验外其他四项测试的录入时间，如图1示，我们规定每组的前5人进入一台台阶试验测量仪，后5人进入另一台台阶试验测量仪，即1-5号进入台阶测试仪1，5-10号进入台阶测试仪2，215秒后10人可同时测试完，这10人又可组成学号相连的一组。进行其他项目的测试。而进行其他测试时10人是按既定顺序排队的，这样就可得到每个组独立进行各测试项目的真实时间分别为105/3秒，205秒，205秒，155/2秒,215秒，所以周期应为215秒。由于考虑台阶测试仪充分利用，因此对于一个组来说，首要的选择是台阶测试仪。第i组进行台阶测试仪测试时，第i-1组可同步进行其他四项测试。第i-1组中的最后一个人，完成四项测试的第一项时间为20+20*9=200。因此，第i组进行完台阶测试时，可立即进行其他四项测试。最后一组的最后一名同学完成其他四项测试的时间为：65+20*9=245。可以用线性规划建立数学模型[2]，来解决此问题，其目标函数为每个时间段所能完成测试的组数最多，约束条件为时间段的时间长度。通过对模型一的求解和分析，我们可以得到每个时间段所能测试的最多人数和所用最少时间段总数。另外在满足整个测试所用时间段最小的条件下，还要尽量节省学生的等待时间，问题中的等待时间我们可以认为是学生等待测试的时间。由于完成各项目测试都有固定的周期，即在整个测试过程中的等待时间为常数，从而学生的等待时间长短取决于测试地点外的等待时间的长短。对于这个问题，我们可以通过合理安排各班级在测肺活量握力测试仪身高体重立定跳远台阶测试仪26每个时间段内的测试顺序解决，从而我们建立了模型三，用线性规划来优化此问题。据此可建立模型二，目标函数为最后一个时间段安排的人数最少，这样可保证学生完成测试的时间最少，即学生等待测试的时间最少。约束条件为每个时间段所能测试的最多人数和参加体能测试的学生总数。这样即可保证前几个时间段学生人数尽量达到饱和，从而解决了整个测试所需时间最少的问题。三、模型假设1、在测试过程中各个测试仪器都能正常工作；2、每个学生在转换测试项目时所用的时间不计；3、每个班级在安排测试的时间前都能保证到达测试地点；4、学生在测试完所有项目测试后能迅速离开，并不再占用场所空间；5、测试不受天气等各种因素的影响；6、台阶试验测试仪在测试人数不足5人时也可进行测试；7、体能测试时按照图1所示体能测试流程图进行。四、符号说明M——学生总人数；T——每组独立完成每个项目的周期。iS——第i个测试时间段所能完成测试的组数。（i=1,2）Hi——第i个测试时间段的时长。（单位：秒）（i=1,2）jN——第j个时间段所能测试的最多学生总数；（j=1，2，3，4）iY——第i个班级的人数；(i=1,2,...,56）,ijX——0-1变量，,ijX=1表示第i个班级在第j个时间段进行测试；,ijX=0表示第i个班级不在第j个时间段进行测试；(i=1,2,...,56；j=1，2，3，4）五、模型建立与求解５.1求解各个时间段所能测试的组数的模型因为我们以10人为一组，根据各班学生人数可知有些班级可能存在分组后剩余学生现象，这几名同学就会与其他班级的人数组成一组进行测试，而此时该组在做各个项目测试时就增加了一个班级之间的录入时间5秒，为了简化模型我们在建立模型时先不予考虑班级间的录入时间。以台阶试验测试仪为例，当不考虑班级之间的录入时间时，在每个时间段刚开始时第一组直接进入测试，第二组在等待一个周期的时间后进入测试。随着时间的增加，每隔一个周期就有一个组进入测试，直到该时间段结束。这样我们可以建立模型求解台阶试验测试仪在每个阶段内测试得最多组数。目标函数:iMAXS保证每个时间段内测试人数最多7约束条件:iiTSH-245每个时间段的时长约束，以及保证最后一组可测试完其他四项的时间约束。[iS]次数取整约束用LINGO[3]软件对两个时间段依次求解得:(程序见附录一，附录二)1S=68，即在上午时间段内测试的小组的个数为68；2S=53，即在下午时间段内测试的小组的个数为53。模型一的验证：假设台阶实验测试仪放置在最前边，那么上午时间段的最后一组测完台阶测试时累计时间为68*215+245=14865秒，剩余时间为15000-14865=135秒。同理，下午时剩余时间为11700-11640=60秒。5.2求解各时间段内班级分配情况的模型由模型1的结果可知在上午时间段最多可测试完680人，在下午时间段最多可测试530人，即在一天两个时间段最多可测试完1210人。由表1我们可知学生总人数为2036人，故在四个时间段内所有的学生都可以测试完。但是我们需要将所有班级合理分配到四个时间段内，力求在前三个时间段内测试学生的人数尽可能多、第四时间段内测试的人数最少才能使整个测试所需时间最少。从而使学生的等待时间最少。于是我们可以建立此模型，。目标函数：56,41iiiMINXY保证第4个时间段内测试的人数最少约束条件：56,1ijijiXYN每个时间段内测试的最多人数的条件约束564,11ijiijXYM测试学生总人数约束用LINGO软件对该模型进行求解得:(程序见附录三)时间段班号总人数第一天上午3,4,7,9,10,11,17,18,19,20,21,22,26,28,29,32,47,50,51680第一天下午1,2,