余弦三角函数值及知识点汇总

全国中考信息资源门户网站余弦三角函数值及知识点汇总【本讲教育信息】一.教学内容：1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角二.教学目的1、掌握余弦函数、正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，了解正切函数的渐近线。2、会由已知的三角函数值求角，并了解反正弦、反余弦、反正切的意义，且会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示角。三.教学重点、难点重点：1、余弦函数和正切函数的图象及其主要性质；2、已知三角函数值求角。难点：1、利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，利用正切线画出函数的图象，并使直线确实成为此图象的两条渐近线。2、（1）根据[0，2π]范围确定有已知三角函数值的角；（2）对符号arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识；（3）用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求角。全国中考信息资源门户网站、余弦函数的图象变换（1）函数图象的左右变换，即由变换得到的图象。函数的图象，可以看作把的图象上所有的点向左（当时）或向右（当时）平行移动∣∣个单位而得到的。（2）函数图象的横向伸缩变换，即由变换得到图象。函数（且）的图象，可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。（3）函数图象的纵向伸缩变换，即由变换得到的图象函数（A0且A1）的图象，可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当0A1时）到原来的A倍（横坐标不变而得到的）。（4）一般地，函数的图象可以看作是用下面的方法得到的：先把图象上所有的点向左（）或向右（）平行移动∣∣个单位，再把所得各点的横坐标缩短（）或伸长（）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）到原来的A倍（横坐标不变）。2、余弦曲线如图是的图象。全国中考信息资源门户网站余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是；余弦曲线是轴对称图形，其所有对称轴方程是，余弦曲线的对称轴一定是过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值为最大值或最小值。余弦曲线的对称中心一定是过余弦曲线与x轴的交点，此时余弦值为零。由上述图象可以看出，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是：，我们可以利用这五个点画出余弦函数的简图。3、余弦函数的性质（1）余弦函数的定义域与值域。余弦函数的定义域为R，值域从图象上可以看出是［－1，1］。注意：当定义域不是R时，值域就不一定是［－1，1］了。（2）余弦函数的周期性。①余弦函数的周期可参照诱导公式：cos(x+2k)＝cosx(k∈z)，因而周期是2k（k∈Z且k0），最小周期是2。②一般地，函数（A、、为常数且A0，0）的最小正周期T＝。注意：如果则最小正周期为T＝。（3）余弦函数的奇偶性。①由图像可以看出余弦曲线关于y轴对称，因而是偶函数。②也可由诱导公式cos(－x)＝cosx知，余弦函数为偶函数。（4）余弦函数的单调性。全国中考信息资源门户网站由余弦曲线可以知道：余弦函数y＝cosx在每一个闭区间上，都从－1增大到1，是增函数，在每一个闭区间上，都从1减小到－1，是减函数，也不是说，余弦函数的单调区间是及。4、正切函数的性质（1）定义域：｛x|x∈R且x，k∈z｝（2）值域：R，函数无最大值、最小值；（3）周期：；（4）奇偶性：是奇函数；（5）单调性：在每一个开区间，k∈z内均为增函数，须注意的两个问题：①正切函数y＝tanx，x∈（k∈z）是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调增函数；②函数y＝Atan()(A0，0)，其定义域由不等式（k∈z）得到，其周期为。5、正切函数的图象根据正切函数的定义域和周期，我们取，利用单位圆中的正切线，通过平行移动，作出的图象（如图1），而后向左、右扩展得到函的图象（如图2），并把它叫做正切曲线。全国中考信息资源门户网站、正切函数与正、余弦函数的比较正切函数，其定义域不是R，又正切函数与正、余弦函数对应法则不同，因此一些性质与正、余弦函数的性质有了较大的差别，如正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；正、余弦函数是连续函数，反应在图象上是连续无间断点，而正切函数在R上不连续，它有无数条垂直于x轴的渐近线，图象被这些渐近线分隔开来；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个区间上都是增函数。它们也存在大量的共性，如均为周期函数，且对而言，是奇函数，它的图像既可以类似地用正切线的几何方法作图，又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图，这里三个点为（）、（）、（），直线，直线（其中）。作出这三个点和这两条渐近线，便可得到在一个周期上的简图；正弦函数与正切函数同是中心对称图形（注意余弦函数同时也是轴对称图形）。函数的对称中心的坐标是，的值域为R是显然的。全国中考信息资源门户网站还须注意的是，对正、余切函数相关的表示式的一些性质不能由正、余弦函数的结论作一般的推广，须论证后加以应用，例如：的周期是的周期的一半，而与的周期却相同，均为。再如的周期可用最小公倍数法求，而的周期用最小公倍数计算时不一定是最小正周期。7、已知三角函数值求角的有关概念根据正弦函数的图象的性质，为了使符合条件sinx＝a(－1≤a≤1)的角x有且只有一个，我们选择闭区间作为基本的范围。在这个闭区间上，符合条件sinx＝a(－1≤a≤1)的角x，记作arcsina，即x＝arcsina，其中x∈，且a＝sinx。根据余弦函数的图象的性质，为了使符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x有且只有一个，我们选择闭区间作为基本的范围。在这个闭区间上，符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x，记作arccosa，即x＝arccosa，其中x∈，且a＝cosx.。根据正切函数的图象的性质，为了使符合条件tanx＝a(a为任意实数)的角x有且只有一个，我们选择开区间（）作为基本的范围。在这个开区间内，符合条件tanx＝a(a为任意实数)的角x，记作arctana，即x＝arctana，其中x∈（），且a＝tanx。注意：（1）arcsina、arccosa、arctana都表示一个角，它们的正弦值、余弦值、正切值分别都是a。并且arcsina∈、arccosa∈、arctana∈（）。（2）arcsina、arccosa中的a∈，而arctana中的a∈R。8、已知三角函数值时角的表示三角函数值与角都在某一范围内变化时，三角函数值与角的对应关系如下表：全国中考信息资源门户网站、已知三角函数值求角应注意的问题（1）已知角x的一个三角函数值求x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定。如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可分为以下几步求解：第一步，确定角x的可能是第几象限角。第二步，若函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1。第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出（0，2）内对应的角——如果它是第二象限角，那么可表示为－x1+；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为或。第四步，如果要求出以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果。（2）arcsinx、arccosx、arctanx这些符号，在解决某些非特殊角的问题（例如立体几何中求两条异面直线的角、直线与平面所成的角、二面角等）时常用，所以应该了解它们的意义，并学会正确使用它们。全国中考信息资源门户网站（3）如果求得的角是特殊角，则最好用弧度来表示。【典型例题】例1.画出函数y＝－cosx，的简图。分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线。解析：按五个关键点列表：x0cosx10－101－cosx－1010－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：点评：你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数的图象来得到的图象？同样的，能否从函数的图象得到函数的图象？例2.求下列函数的单调递增区间：（1）；（2）分析：根据基本函数的单调性来求解。解析：（1）求函数的单调递增区间由下式确定：全国中考信息资源门户网站∵≤≤，≤≤，即函数的单调递增区间是。（2）函数的单调递增区间，由下式确定：≤≤，≤x≤，即函数的单调递增区间是点评：求形如的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“”视为一个“整体”；②时，所列不等式的方向与的单调区间对应的不等式方向相同或相反。例3.求下列函数的周期：（1）（2）；（3）。分析：（1）先用诱导公式将转为正值，再用T＝；（2）可利用绝对值的意义；（3）可用最小公倍数法。全国中考信息资源门户网站解析：（1）。（2）因为y＝|sinx|的周期是，故y＝|sin2x|的周期是。（3）y1＝cos3x的周期是T1＝，y2＝sin2x的周期T2＝＝。因为且4与6的最小公倍数是12，所以。点评：周期的求法除应用定义及有关结论外，还可作出函数的图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法。如（2）题作出图象容易观察得出周期为。例4.求函数的定义域、周期和单调区间。分析：根据正切函数的定义域、值域、单调性求解。解析：函数的自变量应满足：即。函数的定义域为由于因此函数的周期为。全国中考信息资源门户网站由是增函数。即。因此，函数的单调递增区间为点评：一般地，函数的周期为，常常使用此公式来求周期，此函数周期可直接由得到。例5.若∈()，且tancot，则必有（）A.B.C.+D.+分析：利用诱导公式化为同名的三角函数，再利用单调性进行比较。解析：∵、∴。，且在（）上单调递增，全国中考信息资源门户网站【答案】C点评：比较三角函数值的大小要注意将不同名的三角函数转化为同名的三角函数，再将自变量化在同一单调区间内，利用单调性比较大小。例6.已知sinα＝－，若满足：（1）α∈（2）α∈；（3）α为第三象限角；（4）α∈R。试分别求α。分析：根据正弦函数图象的性质及诱导公式求解。解析：（1）因为正弦函数在闭区间上是增函数，所以符合sinα＝－条件的角只有一个。又因为sin，sin()＝，所以α＝。（2）因为sinα＝0，所以是第三或第四象限角，由正弦函数的单调性，符合sinα＝的角有两个。根据三角式sin()＝－sin＝和sin(2－)＝sin(－)＝得α＝或α＝。（3）因为α是第三象限角，在闭区间内有α＝，所以符合条件sinα＝的第三象限角的集合是｛∈z｝。（4）由正弦函数的周期性可知：全国中考信息资源门户网站当或(k∈z)时，sin，即所求的角的