例谈平面几何知识在求最值中的应用

例谈平面几何知识在求最值中的应用曲阜师范大学附属中学273165李凤华济宁市实验中学附中272100冯宪玲我们可以用不同观点，从不同角度，用不同的呈现方式来观察中学数学。如果选择恩格斯观察数学的角度��数学是研究数量关系与空间形式的科学，则数学的研究对象有的可以纳入单纯状态的“数量关系”或“空间关系”，有的可以纳入两者混合状态的“数形结合”。而中学数学中的最值问题在两者中均占有相当的篇幅，如函数的值域，空间图形间的距离，线性规划问题等。其条件不同，展现形式各异，求解方法也灵活多样，本文借助两例，谈一下平面几何知道在求最值中的应用。例1求函数的最小值。分析：如图1，因为可视为点与点的距离，可视为点与点的距离，于是此最小值转化成了求x轴的动点与两定点、距离和的最小值。由平面几何知识知，A点关于x轴的对称点与B点的距离为所求。易求的最小值是。对于形如的函数最小值均可用此法来解，类似的形如的函数的最大值亦可转化为x轴上的点与两定点距离差的绝对值最大，借助平面几何知识求解。图1例2如图2，树顶A离地面am，树上另一点B离地面bm，在离地面cm的C处看此树上的AB段，离此树多远时视角最大？图2分析：此题常规解法是利用余弦定理，求∠ACB的余弦或利用三角函数知识求∠ACB的正切用C到树的距离x表示为关系x的函数，然后借助函数最值问题去求解，但运算较繁，如果我们由图形得到∠ACB为锐角，联想到圆上点对定弦张角（锐角）比圆外点对此弦张角大，问题便可转化为A、B的圆与距离地面cm的水平线相切时，切点D到树的距离DO，再由切割线定理，得：，故得离此树处看此树视角最大。上例抽象为一般情形，即定直线上的动点对两定点（不在该直线上）张角最大问题，其解法为作过两定点的圆使与定直线相切，则切点对两定点张角最大。