例题与探究(4.1.1圆的标准方程4.1.2圆的一般方程)

中鸿智业信息技术有限公司典题精讲例1如图4-1-1,已知两点P1(4,9)和P2(6,3).图4-1-1(1)求以P1P2为直径的圆的方程;(2)试判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,圆内,还是在圆外？思路分析:对于本题中圆的方程可从两个角度来考虑:(1)从确定圆的条件考虑,需要求圆心和半径,可用待定系数法解决(解法一).(2)从图形上动点P的性质考虑,用求曲线方程的一般方法解决(解法二).(1)解法一:设圆心C(a,b),半径r,则由C为P1P2的中点得a=.239,5264b=6.又由两点间的距离公式得r=|CP1|=10)69()54(22,∴所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10.解法二:∵半圆上的圆周角是直角,∴对于圆上任一点P(x,y),有PP1⊥PP2.1PPk·2PPk=-1,即6349xyxy=-1.化简得x2+y2-10x-12y+51=0,显然当点P与P1、P2重合时,也满足上述方程.综上可知(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程.(2)分别计算点到圆心的距离:|CM|=10)69()56(22;|CN|=1013)63()53(22;|CQ|=103)63()55(22.因此,点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.绿色通道:解法一从圆的两个要素入手,确定出圆心和半径,解法二则从动点的几何特征入手,将圆周角为直角这一特征用坐标加以表示.对于本题还可直接通过三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质列方程求解.另外,本题也可直接套用公式,即以点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.变式训练1在本题中,求以P1为圆心,|P1P2|为半径的圆,并判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上、圆内、还是圆外？解:由两点间的距离公式,得中鸿智业信息技术有限公司r=|P1P2|=40)93()46(22,所以,以P1为圆心,|P1P2|为半径的圆的方程为(x-4)2+(y-9)2=40.∵(6-4)2+(9-9)2=440,(3-4)2+(3-9)2=3740,(5-4)2+(3-9)2=3740,∴点M、N、Q都在圆内.变式训练2在本题中,求以P2为圆心,|P1P2|为半径的圆,并判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上、圆内、还是圆外？答案:方程为(x-6)2+(y-3)2=40,点M、N、Q也都在圆内.例2判断下列方程是否表示圆,如果是,求出圆心和半径;若不是,请说明理由.(1)x2+y2+4x-2y+12=0;(2)x2+y2-11x+3y-30=0;(3)3x2+2y2+3x-3y+5=0.思路解析:本题首先要观察各题目二次项系数是否相等,根据书中已有结论判定方程是否满足表示圆的条件,再依据公式得出圆心和半径.答案:(1)x2+y2+4x-2y+12=0可以转化为(x+2)2+(y-1)2=-7,所以该方程不是圆的方程.(2)在x2+y2-11x+3y-30=0中,2112D,232E,D2+E2-4F=2500,所以该方程表示圆心为(23,211),半径为105的圆.(3)在3x2+2y2+3x-3y+5=0中,因二次项系数不相等,所以该方程不是圆的方程.绿色通道:对于这类问题,首先看题中所给方程是否能化为圆的方程的一般式形式:x2+y2+Dx+Ey+F=0,在D2+E2-4F0的情况下,则有(2,2ED)为圆心,21FED422为半径.不必死记这个公式,要掌握通过配方将圆的一般式转化为圆的标准式的方法.变式训练3已知方程x2+y2-2kx+2k+3=0表示圆,则k的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(3,+∞)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.答案:C例3证明A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)、D(6,0)四点共圆,并求出此圆的圆心和半径.思路分析:首先由不共线三点确定一个圆,然后再证第四个点在圆上,用待定系数法.解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将A、B、D三点坐标代入得.12,2,8.0366,03435,0832FEDFDFEDFED解得故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.∴点C在该圆上.∵2D=4,2E=1,中鸿智业信息技术有限公司∴圆心为(4,1),r=52422FED综上,可得四点共圆于圆心为(4,1),半径为5的圆,其方程为x2+y2-8x-2y+12=0.解法二:∵AB边的中点为(25,27),斜率为kAB=312523.∴AB边的垂直平分线的方程为y-25=-3(x-27),即3x+y-13=0.①∵BC的中点为(4,1),kBC=5331=2,∴BC边的垂直平分线的方程为y-1=-21(x-4),即x+2y-6=0.②,解①②组成的方程组得.1,4yx∴圆心为(4,1),半径r=5)21()24(22.∴所求圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=5.绿色通道:圆的标准方程中有三个未知量a,b,r;圆的一般方程有三个未知量D,E,F.故确定一个圆需要三个独立的条件,一般利用待定系数法确定.这需要把题目中的已知条件一一转化为关于未知量的方程,利用方程组获得a,b,r或D,E,F的值,进而确定圆的方程.其基本步骤为:(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2或设方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0;(2)根据已知条件,建立关于a、b、r或D,E,F的方程组;(3)解方程组,求出a、b、r或D,E,F的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.不过有时利用圆的几何性质解题,会有更简捷的解题途径.变式训练4一个等腰三角形底边上的高等于4,底边两端的坐标是(-3,0)、(3,0),求它的外接圆方程.图4-1-2答案:圆的方程为x2+(y+87)2=64625或x2+(y-87)2=64625.例4设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.思路分析:本题关键是找出点P与定点M及已知动点N之间的联系,用平行四边形对角线互相平分这一定理即可.解:如图4-1-3所示,设P(x,y),N(x0,y0),线段OP的中点坐标为(2,2yx),线段MN的中点坐标为中鸿智业信息技术有限公司(24,2300yx).图4-1-3因为平行四边形对角线互相平分,故242,23200yyxx,从而.4,300yyxx.N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(512,59)和(528,521).绿色通道:如果动点P(x,y)的轨迹依赖于另一动点(a,b)的轨迹,而Q(a,b)又在已知曲线上,则可先列出关于x,y,a,b的方程组,利用x,y表示出a,b,把a,b代入已知曲线方程便可得动点P的轨迹方程,此法称为相关点法(亦称代入法或转移法).变式训练5设A(-c,0)、B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0),则P点的轨迹为_____________.思路解析:利用两点距离公式列式求解并注意讨论.答案:当a≠1时,P点的轨迹表示以(1122aac,0)为圆心,以|12|2aac为半径的圆;当a=1时,P点的轨迹表示的直线即为y轴.例5有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A、B两地距离10km,顾客选A地或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.思路分析:首先要建立以A或B为中心的购买区域,因为每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,因此,顾客所在地到A地距离是到B地距离的31,以此为等量关系,所以满足此条件的范围应为某区域,我们可以建立以AB为横轴的直角坐标系.解:以A、B所确定的直线为x轴,A、B中点O为坐标原点,建立直角坐标系.如图4-1-4,则A(-5,0)、B(5,0).中鸿智业信息技术有限公司图4-1-4设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜,并设A地的运费为3a元/km,B地的运费为a元/km.价格+xA地运费≤价格+xB地运费,所以3a222)5()5(yxax因为a0,所以32222)5()5(yxyx.两边平方,得9(x+5)2+9y2≤(x-5)2+y2,即(x+425)2+y2≤(415)2.所以,以点C(425,0)为圆心、415为半径的圆是这两地购货的分界线.圆C内的居民从A地购货便宜;圆C外的居民从B地购货便宜;圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等,因此,可随意从A、B两地之一购货.绿色通道:(1)坐标法是研究解析几何问题的一个重要方法,在解决实际问题时要注意建立适当的直角坐标系,用坐标法进行求解.(2)在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活及相关学科中的运用.(3)解有关实际应用题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.变式训练6在气象台A正西方向300千米处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都要受其影响.问:从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将遭受台风影响?持续多长时间？解:以气象台为坐标原点,以正东方向为x轴正方向,建立直角坐标系,如图4-1-5,则现在台风中心B的坐标为(-300,0).根据题意,可知t小时后B′的坐标为(-300+40tcos45°,40tsin45°),即(-300+220t,220t).因为以台风中心为圆心,以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以B′在圆上或圆内时,气象台将受台风影响.图4-1-5所以令|AB′|≤250,即(-300+220t)2+(220t)2≤2502,整理得16t2-2120t+275≤0,中鸿智业信息技术有限公司解得475215475215t,1.99≤t≤8.61.故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响,大约持续6个半小时.问题探究问题1我们知道圆的方程有两种形式,那么请想一想使用时该如何去选择呢？导思:(1)求圆的方程的基本方法:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准,定参数”是解题的基本方法.其中,选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式,进而确定其中三个参数.一般来讲,条件涉及圆上的点多,可选择一般方程,条件涉及圆心与半径,可选择标准方程.(2)求圆的方程的一般步骤:①根据题意选用圆的方程两种形式中的一种;②根据所给条件,列出关于D、E、F或a、b、r的方程组;③解方程组,求出D、E、F或a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中,得到所求的圆的方程.探究:先来研究一下这两种形式的方程的特点:圆的标准方程突出了圆心坐标(a,b)以及半径r;圆的