信号检测与估计试题答案(不完整版)

一、概念：1.匹配滤波器。概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。2.卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（LinearStochasticDifferenceequation）来描述：X(k)=AX(k-1)+BU(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=HX(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(WhiteGaussianNoise)，他们的covariance分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)………..(1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance：P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q………(2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))………(3)其中Kg为卡尔曼增益(KalmanGain)：Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)………(4)到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要令卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：P(k|k)=（I-Kg(k)H）P(k|k-1)………(5)其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5个基本公式。根据这5个公式，可以很容易用计算机编程实现。3.白噪声的概念白噪声定义：将噪声用n(t)表示，功率谱密度为常数，具有这种特性的噪声称为白噪声。说明：这种称呼来源于光学。因为光学中将包括全部可见波长的光称为白光，所以我们也将包括了全部频率成分的噪声称为白噪声。说明：实际上，完全理想的白噪声是不存在的，但只要噪声功率谱均匀分布的范围超过电子系统工作的频率范围很多时，就可以近似认为是白噪声。例如，热噪声功率谱密度均匀分布的部分高达1013Hz，因此可将它看成白噪声。4.二元信号检测理论模型第三章ppt第4页开始5.谱、功率谱、频谱的联系与区别。区别：1、一个信号的频谱,只是这个信号从时域表示转变为频域表示,只是同一种信号的不同的表示方式而已,而功率谱是从能量的观点对信号进行的研究,其实频谱和功率谱的关系归根揭底还是信号和功率,能量等之间的关系。2、频谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（timeaverage）概念；功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。3、功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个2)(0nPn“随机过程”。（随机的频域序列）4、功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。联系：1、功率谱可以从两方面来定义，一个是自相关函数的傅立叶变换，另一个是时域信号傅氏变换模平方然后除以时间长度。第一种定义就是常说的维纳辛钦定理，而第二种其实从能量谱密度来的。根据parseval定理，信号傅氏变换模平方被定义为能量谱，能量谱密度在时间上平均就得到了功率谱。2、在频域分析信号分两种：（1）.对确定性信号进行傅里叶变换，分析频谱信息。（2）.随机信号的傅里叶信号不存在，转向研究它的功率谱。随机信号的功率谱和自相关函数是傅里叶变换对（即维纳辛钦定理）。功率谱估计有很多种方法6.二元通信系统的检测性能与那些因素有关。（可能不准确）概率转移机构，观测空间R，最佳判决准则第三章ppt第4页开始二、计算：1.在二元数字通信系统中，假设为H1时，信源输出为正电压A，假设为H0时，信源输出为零电平。信号在通信信道传输过程中叠加了高斯噪声n(t)；每种信源的持续时间为T，在接收端对接收到的信号x(t)在T时间内进行N次独立采样，样本为xk（k=1,2,…,N)。已知噪声样本nk是均值为零、方差为σn2的高斯噪声。（1)试建立信号检测系统的信号模型；（2）若似然检测门限已知，确定似然比检验的判决表达式；（3）计算判决概率P(H1|H0)和P(H1|H1)。解：（1）接收信号模型为:01()(),0()(),0HxtnttTHxtAnttT：：在（0，T）内进行N次独立采样后，接收信号模型为：01,1,2,...,,1,2,...,kkkkHxnkNHxAnkN：：其中xk之间相互独立。（2）已知221()exp22kknnnpn在两种假设情况下，似然函数为：2022121(|)exp221(|)exp22kknnkknnxpxHxApxH由于N次采样的样本xk之间是独立同分布（iid)的，所以2100212111211(|)(|)exp()221(|)(|)exp()22NNkNkkknnNNkNkkknnxpxHpxHxApxHpxH这样，似然比函数为221112202221(|)()exp()(|)22exp()2NNkkkknnNkknnxAxPxHxPxHANAx似然比函数检验（LRT）为102221exp(2HNkknnHANAx）取对数:102221ln2HNkknnHANAx进一步整理得1021ln12HNnkkHAxNNA（3）检验统计量11NkkxN是N个信号的平均值，它是xk（k=1,2,…,N)的函数，是个随机变量。1021ln1(),()2HNnkkHAlxxlxNNA令，说明：由于N次采样的样本xk之间是独立同分布（iid)的，因此l(x)在两种假设情况下均服从高斯分布，均值和方差计算过程如下。假设H0情况下，均值和方差分别为：00112220001111()||011()||()|NNkkkkNNnkkkkElxHExHEnNNDlxHExHElxHEnNNN假设H1情况下，同样的方法计算均值和方差为：11112221111111()||11()||()|NNkkkkNNnkkkkElxHExHEAnANNDlxHExHElxHEAnANNN用l表示l(x)，有20211|~0,1|~,nnlHNNlHNAN根据判决准则，100222|(|)1exp212nnPHHplHdlNldlN2ln:2nAwhereNA111222|(|)1exp212nnPHHplHdlNlAdlN2.例题3.4-2：在OOK通信系统中，两个假设下的观测信号模型为nAxHnxH:10：其中，观测噪声n~N（0，σn2）;信号A是常数，且A0。若两个假设的先验概率P(Hj)未知，代价因子C00=C11=0，C10=C01=1，采用极小化极大准则，试确定检测门限和平均错误概率。解：在两个假设下，观测量x的概率密度函数分别为2022121(|)exp221(|)exp22nnnnxpxHxApxH似然比函数为:21220|2(exp|22nnPxHAxAxPxH）假设判决门限为η，则:102222exp22HnnHAxA化简得:102ln2HnHAxA显然，检验统计量l(x)=x.X在两种假设情况均服从高斯分布，根据判决准则，有100222|(|)1exp221exp22nFnnnPPHHplHdlldluduQ01122|(|)1exp221MnnnPPHHplHdllAdlAQ因为C00=C11=0，C10=C01=1，此时极小化极大方程为：PF=PM，即极小化极大方程为**1nnAQQ解得*2A此时平均错误概率**2FnnAPePrQQ（）式中22nASNR3.例题3.4-3：在二元数字通信系统中，假设为H1时信源输出为1，假设为H0时信源输出为0，信号在通信信道上传输时叠加了均值为零、方差为1的高斯噪声。试构造一个P（D1|H0）=0.1的N-P接收机。解：已知α＝0.1用x表示接收信号，n表示噪声，则两种假设情况下接收信号01:1HxnHxn：因为噪声n服从N（0，1）20211(|)exp2211(|)exp22xpxHxpxH似然比为:0110|1)exp|2HHPxHxxPxH（化简为:011ln2HHx检验统计量为x。当约束条件满足时，有121000()20|||1|20.1RxxPHHPxHdxPHdPxHdxedx解得:1ln1.29,22.2检验概率为:2111()121.29||120.386xlPHHPlHdledl