代数学(第14讲)

第十四讲§2.7环的同态复习有关内容：1，一个环是具有两个代数运算“+”与“”的非空集合，具有两个不同的元素0,1且满足（1）(,,0)R是一个Abel群；（2）(,,1)R是一个幺半群；（3）“”对“+”具有分配律，即,,,abcR均有(),()abcabacbcababc。2，设,,,0,1R是一个环，I是加群(,,0)R的一个子群（实际上是正规子群）．若,aRbI均有,abIbaI．那么I称为R的一个理想．由一个元素生成的理想称为主理想．新课：一，同态基本定理１．定义2.3：设',RR是两个环，':RR．若满足,abR，均有'()()(),()()(),(1)1abababab，则称是环R到'R的一个同态．２．环的同态基本定理：设是环R到'R的一个同态，1'0K是同态核，则K是R的一个理想并且存在唯一的一个商环RK到环'R的同态':RKR使得，其中是环R到商环RK的自然同态．进一步，是满同态，而是单同态．证明：①设,,abK则'''''()0,()0()()()000ababab(,,0)abKK是(,,0)R的一个子加群，这里0是环'R的零元．,rRaK，我们有''()()()()00rarar，同理()0ar．于是,arraK．所以K是R的一个理想．②由群的同态基本定理知（具体见第一章第九节），存在唯一的一个群同态':(,,0)(,,0)RKR使得，具体地()(),()RaaaK，是(,,0)R到(,,0)RK的自然同态．进一步，是满同态，而是单同态．所以,abRK，()()()abab；,,()()()abRabab。又因为()()()()()()(),ababababab'(1)(1)1，()()(),(1)1abababab；所以':RKR是商环RK到环'R的一个同态，是环R到商环RK的一个同态。３．推论：若是环R到'R的满同态，则1''0RR．二、同构定理１．定理2.6：若是环R到'R的满同态，1'0K是核.①设{|HH是(,,0)R的子群且}HK，'''{|HH是''(,,0)R的子群}，则与'之间存在一一对应关系，并且中的H是R的子环（理想）当且仅当()H是'R的子环（理想）．②若I是R中包含K的理想，那么映射':|()aIaI（其中'()II）是商环RI到''RI的同构．（②称为环的第一同构定理）．证明：①由于是环R到'R的满同态，则是群(,,0)R到''(,,0)R的满同态．由Ｐ65Th1.8'知，映射|HHH是与'之间的一一对应．如果H是R的子环，则(,,0)H是(,,0)R的子群，从而((),,0)H是''(,,0)R的子群且'',()abH，,abH使得''(),()aabb．于是，''()()()()abababH，所以()H是'R的子环．反之，设'中的'H是'R的子环，则'(,,0)H是'(,,0)R的子加群，所以1'()H是(,,0)R的子群且1',()abH，均有'(),()abH．所以'()()()ababH，于是1'()abH。因此1'()H是R的子环。类似可证中的H是R的理想当且仅当()H是'R的理想。②作映射'':|(),(())aIaIII．则''',,0,,0RIRI（由P65Th1.8'）．又因为''()()()aIbIabIabIabI''()()aIbIaIbI．故''RIRI．２．环的第二同构定理：设R是一个环，S是R的子环，I是R的理想．那么|,SIsisSiI是R的子环，ISI，且I是SI的理想，SI是S的理想，并且映射:|(),sIsSIsS是商环SII到()SSI的同构．证明：类似于并利用P65Th1.9．三、特征１．定义：设R是一个环，R中最小的子环称为R的素环。如果e是R中的单位元，那么R的素环是{|}ZenenZ。事实上，首先，不难验证，Ze是R的一个子环．现设S是R的任一个子环．那么0,eS，于是eS。所以，neZe，当0n时，...nneeeeS个，当0n时，()()neneS，当0n时，00eS。因此ZeS。２．定理2.7：在同构意义下，环R的素环要么是整数环Z要么是k的剩余类环Zk，这里0k．证明：设R是任一环，eR是R的单位元，,,0,1Z是整数环。作映射:ZR使得,()nZnne．那么,,()()()(),mnZmnmnemenemn()()()()mnmnemenemn，又(1)e，故是Z到R的一个同态，并且|ZZenenZ是R的素环，所以10ZeZ。而10是Z的一个理想，故10是Z中的一个主理想，即10k，其中0,kkZ．若0k，则100．此时，ZeZ．若0k，则ZeZk．若把同构的环看成相同的环，那么结论成立．３．定义：设R是一个环，若R的素环是Zk，0k，则称R是具有特征k的环，k称为R的特征．§2.9可换整环R的分式域一，分式域１.问题的提出：我们知道，一个除环的任一个子环是整环，现在要问：任一个整环是否可嵌入到一个除环之中，即就是说，给定一个整环D，是否存在一除环F，使得存在一个D到F的单同态。如果可以的话，D与F中的子环()D同构，即：(),()DDDF，此时，将D与()D等同起来，可认为D是F的一个子环。可惜的是答案是否定的（A.Malcev）.但是我们可证明每一个交换整环可嵌入到一个域中.２.设F是一个域，D是F的一个子环，则D是一个交换整环，再设1[]|,,0FDababDb．则[]FD是F中由D生成的子域。证明：（１）先证[]FD是F的一个子域。,[]xyFD，则,,,,0,0abcdDbd，使得11,xabycd，所以1111111()[]xyabcdadbdcbbdadbcbdFD，进而11100[],()()[]bFDxababFD．[],,0FD是加群(,.0)F的一个子加群．又因为11111()()[]xyabcdacbdacbdFD，11[]bbFD．所以[],,,0,1FD是F中的一个子环．进一步，当0x时，0a．1111()[]xabbaFD．[],,,0,1FD是F中的一个子域。（2）1,1[]aDaaFD，所以[]DFD。（3）现设'F是F中包含D的任意子域，则[]xFD．存在,,0abDb，使得1xab。而,abF，所以1xabF．这说明'[]FDF．从而[]FD是由D生成的子域．显然有11abcdadbc．例：设FR是实数域，DZ是整数环，则D是F的一个子环，此时F中由D生成的子域1[]{|,,0}FDababDbQ是有理数域。３.设D是一个交换整环．*{0}DD．作**,,,DDabaDbD．在*DD上定义关系＂E＂如下：*(,),(,),(,)(,)abcdDDabEcdadbc。可验证＂E＂是*DD上的一个等价关系．事实上，*(,)abDD，我们有(,)(,)abEab（因为abba），所以，自反性成立；*(,),(,)abcdDD，如果(,)(,)abEcd，那么adbc，这样cbda，所以(,)(,)cdEab，于是对称性成立；*(,),(,),(,)abcdefDD，如果(,)(,),(,)(,)abEcdcdEef，那么,adbccfde，这样adfbcfbde，所以afbe，于是(,)(,)abEef，因此传递性成立。*(,)abDD，我们用分式ab表示(,)ab的等价类：(,)ab*(,)|(,)(,)xyDDabExy．则有(,)(,)(,)(,)acabcdabEcdadbcbd．设*|,aFaDbDb．现在F中定义两个运算＂＂与＂＂如下：,acFbd，定义(),acadbcacacbdbdbdbd．我们说此二定义是有意义的．若'''',aaccbdbd，那么'''',abbacddc，所以''''''()adbcbdabddcdbb''''''''()badddcbbadbcbd，于是''()adbcbd''''()adbcbd。这样''''''()adbcadbcbdbd，即''''acacbdbd．同理可证''''acacbdbd．因此，＂＋＂与＂＂是F中的两个代数运算．下证F关于运算＂＋＂与＂＂构成一个域．类似于分数的运算，不难验证，上述运算＂+＂与＂＂均满足结合律与交换律，并且＂＂对＂＋＂满足左，右分配律。现令010,111，那么(10)0011abaaabbbb．同理可证0aabb．同时111111aaaaabbbbb，即0,1分别是上述运算＂＋＂与＂＂的恒等元。因此,,,0,1F是一个交换环．现设aFb，0ab，那么0a，此时bFa，且()11()1ababbaab．因此1abba．于是,,,0,1F是一个域．现作映射:,(|)1aDFa。则是D到F的一个单同态．于是有定理2.8：任一个交换整环可嵌入到一个域中．４.现设|1aDaD，则DF，且DD．若将元素a与1a等同起来，则D与D可看成同一个环．即可说D是F的一个子环，并且111,111aaaabFabbbb．因此D生成域F，即[]FFD。称F为交换整环D的分式域．二，分式域的泛性定理2.9：设D是一个交换整环，F是D的分式域，那么对D到任一个域'F的单同态D，存在唯一的一个F到'F的单同态扩张F．证明：（１）存在性：设':DDF是一个单同态，则'(1)1D．当0a时，0Da．xF，存在,,0abDb，使得1xab．现在我们定义一个法则11:()()(())FFDDabab．我们说F是F到'F的一个映射．即要证明此法则是有意义的。11,abcdF，如果11abcd，那么()()()()()()DDDDDDadbcadbcadbc1111()(())()(())()()DDDDFFabcdabcd．下证F是F到'F的一个同态．1111111,,()()()(())(()()()())(()())FFDDDDDDDDabcdFabcdadbcbdadbcbdadbcbd1111()(())()(())DDDDFFabcdabcd．类似可证11Fabcd11FFabcd．并且11'''111111FF．所以F是