2018届苏教版----数学寒假作业六：导数--单元测试

第1页共10页数学寒假作业（六）测试范围：导数使用日期：正月初四测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列求导运算正确的是()A.x＋1x′＝1＋1x2B．(log2x)′＝1xln2C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx2．函数f(x)＝x3－3x2＋1是减函数的区间为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(0，2)D．(－∞，0)3．函数y＝ax3＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝()A.18B.14C.1627D.4274．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．55．曲线y＝sinxx在点M(π，0)处的切线方程为()A．x＋πy－π＝0B．πx＋y－π＝0C．x－πy－π＝0D．πx－y－π＝06．给出下列四个命题：①函数f(x)＝x2－5x＋4(－1≤x≤1)的最大值为10，最小值为－94；②函数f(x)＝2x2－4x＋1(－2＜x＜4)的最大值为1，最小值为－1；③函数f(x)＝x3－12x(－3＜x＜3)的最大值为16，最小值为－16；④函数f(x)＝x3－12x(－2＜x＜2)既无最大值，也无最小值．其中正确命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个7．过点(－1，0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为()A．2x＋y＋2＝0B．3x－y＋3＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝08．已知函数y＝xf′(x)的图象如右图所示[其中f′(x)是函数f(x)的导函数]，则y＝f(x)的图象大致是下面四个图象中的()第2页共10页9．若0＜x＜π2，则2x与3sinx的大小关系()A．2x＞3sinxB．2x＜3sinxC．2x＝3sinxD．与x的取值有关10．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.94e2B．3e2C．e2D.e2211．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1a处有极值，则ac＋2b的值为()A．－3B．0C．1D．312．曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．120°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．y＝xcosx在x＝π3处的导数值是_________．14．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是__________、_________．15．若曲线y＝h(x)在点P(a,h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则h′(a)与0的大小关系是h′(a)________0(填“”、“”、“＝”)．16．已知函数f(x)＝3x＋ax＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]的最值．第3页共10页18．(12分)已知曲线f(x)＝x3＋x2＋x＋3在x＝－1处的切线恰好与抛物线y2＝2px(p＞0)相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标．19．(12分)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间．第4页共10页20．(12分)已知函数f(x)＝23xx2－3ax－92(a∈R)．(1)若函数f(x)图象上点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，求m的值；(2)若函数f(x)在(1，2)内是增函数，求a的取值范围．21．(12分)已知函数f(x)＝13x3＋a－22x2－2ax－3，g(a)＝16a3＋5a－7.(1)a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间；第5页共10页(2)若函数f(x)在区间[－2，0]上不单调，且x∈[－2，0]时，不等式f(x)＜g(a)恒成立，求实数a的取值范围．22．(12分)已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)当x＞1时，12x2＋lnx＜23x3是否恒成立，并说明理由．[学。科。网]家长签字：日期第6页共10页数学寒假作业（六）答案1、B2、C3、D4、D解析：依题意，得f′(－3)＝30－6a＝0，则a＝5.5、A解析：先求导，y′＝（sinx）′x－x′sinxx2＝xcosx－sinxx2，根据导数的几何意义得到切线的斜率k＝y′|x＝π＝－1π，代入直线的点斜式方程，得y－0＝－1π(x－π)，即x＋πy－π＝0.6、B解析：分别计算四个函数的最值，得知③④正确．7、D解析：y′＝2x＋1，设切点坐标为(x0，y0)，则切线的斜率为2x0＋1，且y0＝x20＋x0＋1，于是切线方程为y－x20－x0－1＝(2x0＋1)(x－x0)，因为点(－1，0)在切线上，可解得x0＝0或－2，代入可验证D正确．8、C解析：由函数y＝xf′(x)的图象可知：当x＜－1时，xf′(x)＜0，f′(x)＞0，此时f(x)递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，f′(x)＜0，此时f(x)递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，f′(x)＜0，此时f(x)递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，f′(x)＞0，此时f(x)递增．9、D解析：令f(x)＝2x－3sinx，则f′(x)＝2－3cosx.当cosx23时，f′(x)＜0；当cosx＝23时，f′(x)＝0；当cosx23时，f′(x)＞0.即当0＜x＜π2时，f(x)先递减再递增，而f(0)＝0，fπ2＝π－3＞0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sinx的大小关系与x取值有关．10、D解析：可以求得切线方程是y－e2＝e2(x－2)，则得切线与两坐标轴的交点分别是(1，0)以及(0，－e2)，所以，所求三角形的面积为e22.[]11、A解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题可知f′1a＝3a1a2＋2b1a＋c＝0，∴3a＋2ba＋c＝0，∴ac＋2b＝－3，故选A.12、C解析：设B(x0，x30)，由于y′＝3x2，故切线l的方程为y－x30＝3x20(x－x0)，令y＝0得点A2x03，0，由|OA|＝|AB|，得2x032＝x0－2x032＋(x30－0)2，当x0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x40＝13，故x20＝33，直线l的斜率为3x20＝3，故直线l的倾斜角为60°.13、解析：直接计算，即知所求的导数值为12－36π.答案：12－36π14、解析：由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.故f(x)的极大值、极小值分别为f(－1)＝3，f(1)＝－1，而f(－3)＝－17，f(0)＝1.故函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3，0]上的最大值、最小值分别是3、－17.第7页共10页答案：3－1715、解析：∵曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线的斜率为h′(a)，而已知切线方程为2x＋y＋1＝0，即斜率为－2，故h′(a)＝－2，∴h′(a)＜0.答案：16、解析：由题可知，函数f(x)＝3x＋ax＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以其导函数f′(x)＝3（x＋2）－（3x＋a）（x＋2）2＝6－a（x＋2）2在(－2，＋∞)上小于零，解得a＞6.答案：(6，＋∞)17、解析：f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3＞0，∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f′(x)在[－1，1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)min＝－12；x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.18、解析：∵f(－1)＝2，∴曲线y＝f(x)上的切点为A(－1，2)．∵f′(x)＝3x2＋2x＋1，∴f′(－1)＝2.∴切线方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4.设抛物线上的切点为B(x0，y0)，显然抛物线上的切点在抛物线的上支．抛物线上支的方程为y＝2px，则y′＝2p2x，∴y′|x＝x0＝2p2x0＝2，得p＝8x0.①又∵点B在切线上，∴2px0＝2x0＋4.②由①②求得p＝16，x0＝2，∴y0＝8.故所求抛物线方程为y2＝32x，所求的切点为(2，8)．19、解析：依题意有f(1)＝－2，f′(1)＝0，而f′(x)＝3x2＋2ax＋b，故1＋a＋b＋c＝－2，3＋2a＋b＝0，解得a＝c，b＝－2c－3.从而f′(x)＝3x2＋2cx－(2c＋3)＝(3x＋2c＋3)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2c＋33.由于f(x)在x＝1处取得极值，故－2c＋33≠1，即c≠－3.(1)若－2c＋331，即c－3，则当x∈－∞，－2c＋33时，f′(x)＞0；当x∈－2c＋33，1时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.从而f(x)的单调增区间为－∞，－2c＋33和[1，＋∞)；单调减区间为－2c＋33，1.第8页共10页(2)若－2c＋33＞1，即c＜－3，同上可得，f(x)的单调增区间为(]－∞，1，－2c＋33，＋∞；单调减区间为1，－2c＋33.20、解析：(1)∵f(x)＝23x3－2ax2－3x，∴f′(x)＝2x2－4ax－3.则过P(1，m)的切线斜率为k＝f′(1)＝－1－4a.又∵切线方程为3x－y＋b＝0，∴－1－4a＝3.即a＝－1.∴f(x)＝23x3＋2x2－3x.∵P(1，m)在f(x)的图象上，∴m＝－13.(2)∵函数f(x)在(1，2)内是增函数，∴f′(x)＝2x2－4ax－3≥0对于一切x∈(1，2)恒成立，即4ax≤2x2－3，∴a≤x2－34x，由于x2－34x在(1，2)上单调递增，∴x2－34x∈－14，58，即a≤－14.∴a的取值范围是－∞，－14.21、解析：(1)当a＝1时，f(x)＝13x3－12x2－2x－3，定义域为R，f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)．令f′(x)＞0，得x＜－1，或x＞2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)f′(x)＝x2＋(a－2)x－2a＝(x＋a)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－a.∵函数f(x)在区间[－2，0]上不单调，∴－a∈(－2，0)，即0＜a＜2.又∵在(－2，－a)上，f′(x)＞0，在(－a，0)上，f′(x)＜0，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：∴f(x)在[－2，0]上有唯一的极大值点x＝－a.∴f(x)在[－2，0]上的最大值为f(－a)．∴当x∈[－2，0]时，不等式f(x)＜g(a)恒成立，等价于f(－a)＜g(a)．∴－13a3＋a－22×a2＋2a2－3＜g(a)．∴16a3＋a2－3＜16a3＋5a－7.∴a2－5a＋4＜0，解得1＜a＜4.第9页共10页综上所述，a的取值范围是(1，2)．22、解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得f′(x)＝x－ax(x＞0)，∴当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．当a＞0时，f′(x)＝x－ax＝x2－ax＝（x－a）（x＋a）x.∴当0＜x＜a时，f′(x)＜0，当x＞a，f′(x)＞0.∴当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(2)设g(x)＝23x3－12x2－lnx(x＞1)则g′(x)＝2x2－x－1x.∵当x＞1时，g′(x)＝