偏导数的应用习题

偏导数的应用习题1.求二元函数yyyxyxfln)2(),(22的极值。2.求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在由直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值、最小值。3.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是11218Qp，2212Qp，其中21,pp分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），21,QQ分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数为：52QC，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即21QQQ，（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一价格，使企业的总利润最大，并比较这两种价格策略下的总利润大小。4.求平面曲线323232ayx（a0）上任一点处切线方程，并证明这些切线被坐标轴所的线段等长。5.求曲线tx，2ty，3tz上点，使曲线在此点的切线平行于平面42zyx。1.求二元函数yyyxyxfln)2(),(22的极值。)2(22yxfx，1ln22yyxfy，得到驻点：)1,0(e（唯一的）)12(2)1,0(2eefAxx，0)1,0(efBxy，eefCyy)1,0(，02ACB，0A，极小值eef1)1,0(。2.求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在由直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值、最小值。注意：),(yxf在区域D上的极值点限定在区域D的内部，而最值点可在区域D的边界线上取得，因此求),(yxf在区域D上的极值点可按无条件极值方法处理，但是必须限定所考虑的驻点在给定的区域内，而考虑最值点时应考虑),(yxf在D的边界曲线的极值问题，这是条件极值问题。（1）求D内极值)4(),(2yxyxyxfz0)4(0)4(2222yxyxxyzyxyxxyxz得到驻点：任意yx0，04yx，12yx由于D的边界曲线为x=0,y=0,x+y=6，仅点(2,1)在D内，其他点舍去。222268yxyyxz,xyxxyxz43822,2222xyz,在点（2,1）处A=-60，B=-4,C=-8，02ACB,(2,1)为极大值点，极大值f(2,1)=4.（2）求最值。（ⅰ）在D的边界曲线x=0(60y),0),0(yf,(ⅱ)在D的边界曲线y=0(60x),0)0,(xf,(ⅲ)在D的边界曲线6yx上化为条件极值。即)4(2yxyxz在约束条件6yx下极值。两种方法一是把条件代入化为无条件极值：6yx，xy6232122)4(xxyxyxz60x求一元函数最值问题。xxz2462驻点x=40|2412)4(4xxz,x=4为极小值点x=4时，y=2，f(4,2)=－64为f(x,y)在x+y=6上的极小值，综上f(2,1)=4，0),0(yf，0)0,(xf，f(4,2)=－64，故),(yxf在D上最大值为4，最小值为－64。3.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是11218Qp，2212Qp，其中21,pp分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），21,QQ分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数为：52QC，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即21QQQ，（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一价格，使企业的总利润最大，并比较这两种价格策略下的总利润大小。(1)价格差别策略进行销售，则问题为无条件极值；(2)价格无差别策略进行销售，即21pp,则问题为条件极值.(1)实行价格差别策略，总利润)52(2211QQpQpCRL510162212221QQQQ0021QLQL，得到驻点5,421QQ即为所求。此时7,1021pp（4,5）点唯一，一定有最大值，最大利润L=52(万元).（2）实行价格无差别策略，约束条件21pp，即2112218QQ，6221QQ)62()52(212211QQQQpQpL00021LQLQL，解得4,521QQ，2，则821pp此时最大利润L=4952,实行价格差别策略利润高。4.求平面曲线323232ayx（a0）上任一点处切线方程，并证明这些切线被坐标轴所的线段等长。记323232),(ayxyxF3132),(xyxFx，3132),(yyxFy)0,0(yx曲线上任一点),(000yxP)0,0(00yx处的切线方程：32310310ayyxx，此切线在两坐标轴上截距分别为：32310ax，32310ay而所截线段长为aayaxs232310232310)()(。5.求曲线tx，2ty，3tz上点，使曲线在此点的切线平行于平面42zyx。已知平面42zyx的法向量}1,2,1{n而由1)(tx，tty2)(，23)(ttz曲线上))(),(),((tztytx处切线的方向向量}3,2,1{2tt，故03122112tt得到11t，312t，所求点为)1,1,1(，)271,91,31(。