数字电路课件第2章逻辑代数基础.ppt

由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的。CAABBCDECAAB公式可推广：2.4逻辑函数的性质•逻辑函数表达式与逻辑图有直接关系表达式越简单，实现该逻辑函数所需的逻辑关系就越少，这样即节省集成电路数目，焊接点又少，大大提高电路的可靠性•需要对逻辑函数进行化简1.与非逻辑它是“与”和“非”的复合逻辑，表达式为：F=A·BABF001011101110＆ABFABF与非门逻辑符号用单一的与非门可以实现三种基本逻辑运算：2.4.1复合逻辑＆ABF1＆与运算BABAF1非运算AAAF2或运算BABABBAAF3＆＆＆ABF3＆AF22.或非逻辑或非逻辑是“或”和“非”的符复合逻辑，它与“与非”逻辑互为对偶，它的逻辑表达式为：BAFABF001010100110≥1ABFAB或非门逻辑符号F或非门可以有多个输入端，其逻辑功能是：只要输入端有一个为1时，输出必为0；只有输入端全为0时，输出才为1。同样，或非门也能实现三种基本运算：≥1ABF3≥1≥1AF2≥1≥1≥1ABF1与运算BABABBAAF1非运算AAAF2BABAF1或运算3.与或非逻辑与或非逻辑是“与”、“或”、“非”的复合逻辑，其表达式为：CDABF＆≥1ABCDFCDABF与或非门逻辑符号4.异或逻辑对于二输入变量问题，当二输入值相异时，输出为1；当二输入值相同时，输出为0。二输入变量的异或表达式：BABABAF式中符号表示异或运算。它的逻辑功能可用下列真值表说明。ABF000011101110=1ABABFF异或逻辑有下列等式：A1AA010AAAAA5.同或逻辑对于二输入变量问题，当二输入值相同时，输出为1；当二输入值相异时，输出为0。二输入变量的同或表达式：它的逻辑功能可用下列真值表说明。ABF001010100111BABABAF⊙式中符号表示同或运算。⊙=1ABABFF6.异或运算与同或运算之间的关系：互补关系对偶关系当n为偶数个变量时，有AAAAAAAAn32n1321⊙⊙⊙⊙当n为奇数个变量时，有n32nAAAAAAAA1321⊙⊙⊙⊙即：BABAB或ABA⊙⊙（偶数）⊙BABABABABABA)BABABA)B(ABA)B(ABABABA)B(A）同理也可证明（右边）（（）（左边证明：）（或即：⊙⊙⊙⊙异或运算和同或运算的基本代数性质0—1律(a)A⊕0=AA⊕1=A(b)A⊙0=AA⊙1=A交换律(a)A⊕B=B⊕A(b)A⊙B=B⊙A分配律(a)A(B⊕C)=AB⊕AC(b)A＋(B⊙C)=(A＋B)⊙(A＋C)结合律(a)A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C(b)A⊙(B⊙C)=(A⊙B)⊙C调换律(a)若A⊕B=C则A⊕C=B，C⊕B=A(b)若A⊙B=C则A⊙C=B，C⊙B=A一个逻辑命题可以用多种形式的逻辑函数来描述，这些逻辑函数的真值表都是相同的，如果以函数式中所含的变量乘项的特点以及乘积项之间的逻辑关系来分类，逻辑表达式可以分成与或、或与、与非、或非、与或非、或与非等形式。2.4.2逻辑函数的基本表达式F=A•B+A•B与或式=（A+B）•（A+B）或与式=A•B•AB与非式=（A+B）+（A+B）或非式=AB+A•B与或非式2.4.2逻辑函数的基本表达式2.4.3逻辑函数的标准形式一个逻辑命题的三种表示法：真值表逻辑表达式卡诺图•真值表是逻辑函数最基本的表达方式，具有唯一性；•由真值表可以导出逻辑表达式和卡诺图；•由真值表导出逻辑表达式的两种标准形式：–最小项之和–最大项之积最小项：n个变量有2n个最小项，记作mi3个变量有23（8）个最小项CBACBAm0m100000101CBABCACBACBACABABCm2m3m4m5m6m7010011100101110111234567在逻辑函数中，有n个变量为A1~An，m是这n个变量的与项，若与项m是包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。一、最小项和最大项最小项二进制数十进制数编号最小项编号i，各输入变量取值看成二进制数，用1代表原变量，0代表反变量对应的十进制数。2.4.3逻辑函数的标准形式乘积项和项2.4.3逻辑函数的标准形式（续）•为了区别不同变量数n的相同最小项符号，可以给最小项符号mi加上一个上角标n，如刚才的可以写成34m001ABC000m0CBAm1m2m3m4m5m6m7CBACBABCACBACBACABABC1-n20iimF100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项：最小项的性质2同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0，即：mimj=0(i≠j)3全部最小项之和为1，即：120ii1mn1在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个最小项的值为1，其它最小项的值均为0。2.4.3逻辑函数的标准形式（续）•性质4：若干个最小项之和等于其余最小项和之反例m3+m2=m0+m1，m0=m1+m2+m3ABm3m2m1m0000001010010100100111000n个变量有2n个最大项，记作i。在逻辑函数中，有n个变量为A1~An，M是这n个变量的或项，若和项M包括全部n个变量（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。最大项最大项编号i：把或项中的原变量记做“0”，反变量记做“1”，此二进制数所对应的十进制数就是其值。三变量的最大项CBACBAM0M100000101CBACBAM2M3M4M5M6M7010011100101110111234567CBACBACBACBA同一组变量取值，任意两个不同最大项的和为1，即Mi+Mj=1(i≠j)全部最大项之积为0，即在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1;最大项的性质120ii0Mn最小项与最大项的关系⑴相同编号的最小项和最大项存在互补关系最小项的反是最大项；最大项的反是最小项即:mi=MiMi=miCBAm1CBAM1CBAm1如：1MCBA最小项与最大项的关系例：7531mmmm)7,5,3,1(Fiiim7531mmmmFm1m3m5m7=7531MMMM=⑵若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。iiMF;mF即：ikkimF;mF可推出：ikkikkiMmmF)7,5,3,1(iMii=m0+m2+m4+m62.4.3逻辑函数的标准形式（续）性质：最小项的性质和最大项的性质之间具有对偶性，例如，全部最小项之和恒等于“1”；那么，全部最大项之积恒等于“0”，其他性质可以类推。2.4.3逻辑函数的标准形式（续）二、积之和表达式（与或表达式）逻辑函数被表达成一系列乘积项之和，则称之为积之和表达式，也叫与或表达式。逻辑函数的标准形式最小项标准式（标准积之和表达式）F(A、B、C、D)DCBADCBADCBADCBA8510mmmm)8510(m4、、、例：求函数F(A、B、C)CBABA的标准积之和表达式解：F(A、B、C)CBABACBABACBA)CC(BACBACBABCA123mmm)321(m3、、利用反演律利用互补律，补上所缺变量C解:式中的每一个乘积项均为最小项最小项标准式（标准积之和表达式）ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例：已知函数的真值表，写出该函数的最小项标准式从真值表找出F为1的对应最小项011331110661111771然后将这些项逻辑加ABCCABCBABCA7653mmmm)7653(m3、、、F(A、B、C)逻辑函数的标准形式2.4.3逻辑函数的标准形式（续）函数的最小项标准式例：写出函数Y（ABC）=AB+BC+CA的最小项表达式。解：这是一个包含ABC三个变量的逻辑函数表达式，乘积项AB中缺少C，利用（C+C）乘以AB，同理（A+A）乘以BC，（B+B）乘以ACY=AB（C+C）+BC（A+A）+CA（B+B）=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=m7+m6+m3+m5=∑m3（3，5，6，7）利用了重叠律A+A=A2.4.3逻辑函数的标准形式（续）函数的最小项标准式练习：写出函数Y（ABC）=A+BC的最小项表达式。2.4.3逻辑函数的标准形式（续）函数的最小项标准式例：写出函数Y（ABC）=A+BC的最小项表达式。解：Y=A（B+B）（C+C）+BC（A+A）=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=m3+m2+m1+m0+m7=∑m3（0，1，2，3，7）2.4.3逻辑函数的标准形式（续）函数的最小项标准式例：函数Y=AB+BC的真值表如下，求函数Y的最小项表达式。由表可知，使Y=1的输入变量ABC的取值组合有001、010、011、101四组，相应的最小项为四项，所以，最小项表达式为Y=ABC+ABC+ABC+ABCY=m1+m2+m3+m5=∑m3（1，2，3，5）ABCY000000110101011110001011110011102.4.3逻辑函数的标准形式（续）反函数的最小项标准式如果将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式例：写出上一函数Y（ABC）=AB+BC的反函数Y最小项表达式。解：Y=m0+m4+m6+m7=∑m3（0，4，6，7）2.4.3逻辑函数的标准形式（续）三、函数的最大项标准式逻辑函数被表达成一系列和项这积，则称为和之积表达式，也称为函数的或与表达式，如果构成函数的或与表达式中的每一个项均为最大项，则称这种表达式为最大项标准式如F=（A+B+C）（A+B+C）（A+B+C）逻辑函数最大项表达式可由真值表直接写出，并且和真傎表一样，也具有唯一性用逻辑代数的基本定律和公式，也可将逻辑函数的其他表达式展开或变换成最大项表达式2.4.3逻辑函数的标准形式（续）三、函数的最大项标准式例：写出函数Y（ABC）=（A+C）（A+B）的最大项表达式。解：Y=[(A+C)+(B•B)][(A+B)+(C•C)]=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M0•M2•M4•M5=∏M3（0，2，4，5）如果给定的逻辑函数的真值表，如是该行的函数值是0，则函数的最大项表达式中应包含该行对应的最大项。三、函数的最大项标准式某个最大项不是包含在F中，就是包含在F中。函数的简化依据逻辑电路所用门的数量少每个门的输入端个数少逻辑电路构成级数少逻辑电路保证能可靠地工作降低成本提高电路的工作速度和可靠性2.5逻辑函数的化简最简式的标准首先是式中乘积项最少乘积项中含的变量少与或表达式的简化与门的输入端个数少方法：并项：利用ABAAB将两项并为一项，且消去一个变量B消项：利用A+AB=A消去多余的项AB配项：利用CAABBCCAAB和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项BC消元：利用BABAA消去多余变量A2.5.1代数化简法实现电路的与门少下级或门输入端个数少例用并项法化简下列逻辑函数•F1=ABCD+ABCD•F2=AB+ACD+AB+ACD•解：F1=A(BCD+B