数学物理方法复习提纲

第1页共18页复变函数论复变函数：若在复数平面上存在一个点集E，对于E中的每一点z，按照一定的规律，有一个或多个复数值w与之相对应，则说在点集E上定义了一个复变函数，记作：)(zfw，点集E叫作函数的定义域令：ivuzfw)(，并将iyxz代入，则有：),(),()()(yxivyxuzfwivuzfwiyxz初等复变函数：指数函数：)sin(cosyiyeeeeexiyxiyxz三角函数：izizeeiz21sin,zzzcossintan,zzzsincoscot1）因为zzsin)2sin(，zzcos)2cos(，所以zsin，zcos具有实周期22）zsin，zcos为无界函数。3）212121sinsincoscos)cos(zzzzzz212121sincoscossin)sin(zzzzzz1cossin22zz双曲线函数：zzeeshz21，zzeechz21，chzshzthz对数函数：iArgzzLnzivuwln幂函数：为复常数）（ArgzizLnzeeezln一般指数函数：为复常数）（ziArgzzLnzeeeln复变函数的导数：设函数)(zfw是在区域E上定义的单值函数，对于E上的某点z，如果极限zzfzzfzwzz)()(limlim00存在，则称函数)(zfw在点z处可导，此极限叫作函数)(zfw在点z处的导数，表示为:)()()()(limlim00zfdzzdfzzfzzfzwzz复变函数可导的充要条件：复变函数),(),()(yxivyxuzfw可导的充要条件是偏导数第2页共18页xyxu),(，yyxu),(，xyxv),(，yyxv),(存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：yyxvxyxu),(),(，xyxvyyxu),(),(解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数)(zf在0z点及其邻域内处处可导，那么称)(zf在0z点解析。如果)(zf在区域E内每一点都解析，那么称)(zf在E内解析，或称()fz为E内的一个解析函数。注：)(zf在某点0z解析在该点可导该点连续该点有极限区域解析区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数.●设给定二元调和函数),(yxu，作为解析函数ivuzf)(的实部，由柯西-黎曼条件可求出相应的虚部，进而确定这个解析函数。设二元函数),(yxv的全微分式为：dyyvdxxvdv考虑柯西-黎曼条件可得：dyxudxyudv),(yxv的三种计算方法：（1）曲线积分法：全微分的线积分与路径无关，可选取特殊路径积分，使积分容易求出（2）凑全微分显式法：把dyxudxyudv凑成全微分的显式，求出),(yxv。（3）不定积分法例题.已知解析函数)(zf的实部22),(yxyxu，求虚部和这个解析函数容易验证22),(yxyxu为调和函数：022),(),(2222yyxuxyxu由柯西-黎曼条件可得：yyyxuxyxv2),(),(xxyxuyyxv2),(),(所以有：xdyydxdyyvdxxvdv22(1)曲线积分法：第3页共18页图1取如图1所示的积分路径，可求出积分CxyCxdyydxCxdyydxxdyydxvyxxyxxx2222222),()0,(),()0,()0,()0,0(其中C为积分常数。(2)凑全微分显式法：)2(22xydxdyydxdyyvdxxvdv所以有;Cxyv2(3)不定积分法：xyyxv2),(，yxyxv2),(把x视为参数，xyyxv2),(对y积分可得：)(2)(2xxyxxdyv对)(2xxyv求偏导数)(2xyvx与yxyxv2),(向比较可得：Cxx)(0)(所以由)(2)(2xxyxxdyv可得：Cxyv2所以有：iCzCxyiyxyxivyxuzf222)2()(),(),()(可把2zzx,izzy2代入上式求出复变函数积分:复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分：lllldyyxudxyxvidyyxvdxyxuidydxyxivyxudzzf),(),(),(),())](,(),([)(若曲线l由参数方程)(txx，)(tyy，21ttt给出则有dttyidttxdttzidydxdz)()()(，可得积分的计算公式),(yx)0,(xxyO第4页共18页dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudttyitxtytxivtytxudttztytxivtytxuidydxyxivyxudzzfttttttttll})()](),([)()](),([{)}()](),([)()](),([{)]()()]}[(),([)](),([{)()]}(),([)](),([{))](,(),([)(21212121高阶导数公式设)(zf在区域E内是解析的，在闭区域E上是连续的，l为E的边界，对于区域E内的任一点z，)(zf可以求导任意多次，第n阶导数可表示为：dzfinzflnn1)()()(2!)(上式可看作在柯西公式ldzfizf)(21)(对z求n次导，其中等式右边在积分号内对zf)(关于z求n次导。幂级数：nnnnnzzczzcczzc)()()(001000其中：系数nc和固定点0z都是复常数，z是一个复变量幂级数收敛半径的比值判别法（达朗贝尔判别法）：Rccnnn1lim幂级数收敛半径的根式判别法（柯西判别法）：1limnnncR奇点法：幂级数中心0z到最近奇点的距离即为收敛圆的半径R收敛圆：Rzz0泰勒级数：定理：设函数)(zf在区域E上是解析的，0z为区域E内任一点，在区域E内的圆RzzC0:中，)(zf可以展开为泰勒级数：000)(00))((!1)()(nnnnnnzzzfnzzczf泰勒级数的收敛半径R为0z到区域E的边界的最短距离将函数展开为泰勒级数的方法1．直接计算系数)(!10)(zfncnn：例题.以00z为中心，将zezf)(展开为泰勒级数。第5页共18页解：zezf)(的各阶导数为znezf)()(，!1!1)0(!100)(0nenzfnczzznn所以：02!!!21nnnznznzzze2.换元法：例题.试分别以00z及10z为中心将函数11)(zzzf展开成Taylor级数，并指出其收敛半径.解：利用级数011nnzz，1z来展开)(zf以00z为中心，则有：1,)(21)(12112111)(0zzzzzzzzfnn)(zf的奇点是1z，从中心00z到1z的距离为1，所以收敛半径1R。3.在收敛圆内逐项求导法(求积分法)例题.以00z为中心，将函数2)1(1)(zzf展开为Taylor级数解：已知011nnzz，1z，等式左边对z求导，右边对z逐项求导可得：0112)1()1(1)11(nnnnznnzzz，1z洛朗定理：若函数)(zf在环形区域201RzzR内解析，则)(zf可在环形区域内任一点z展开为罗朗级数，其形式为：nnnzzczf)()(0其中展开系数为：lnndzfic10)()(21积分路径l为环形区域内绕0z的任一简单闭合曲线。罗朗级数中nnnzzczf)()(001称为展开式的正则部分，nnnzzczf)()(012称为主要部分。罗朗级数nnnzzczf)()(0在环形区域201RzzR内绝对且一致收敛罗朗级数展开方法举例例题.将函数2)(zezfz在以00z为中心的环形区域z0内展开为罗朗级数。第6页共18页解：02022!!1)(nnnnznznzzzezf在上式中令ln2，再把l写成n可得：22)!2()(nnznzzezf例题.已知函数11)(2zzf，以10z为中心将函数()fz展开成罗朗级数解：已知1121112111)(2zzzzf上式中的第二项1121z有一个奇点1z，所以在10z为圆心的圆周21z内，1121z可以展开为泰勒级数：nnnzzz)21()1(41)21(1141211210所以有：nnnnzzzzzzf)1(21)1(11211121112111)(202，210z孤立奇点：若函数)(zf在0zz不可导(或无定义)，而在0z的任意小邻域内除0z外处处可导，则称点0zz是)(zf的一个孤立奇点。孤立奇点的分类及其判定(1)可去奇点：若极限)(lim0zfzz存在，则称0z为)(zf的可去奇点。(2)极点.零点：不恒为零的解析函数)(zf如果能表示成)()()(0zzzzfm其中m为正整数，)(z在点0z点解析，且0)(0z，那么0z为)(zf的m阶零点。零点判定定理：如果函数)(zf在0z点解析，那么0z为)(zf的m阶零点0)(,0)()()(0)(0)1(00zfzfzfzfmm例如：1z为1)(3zzf的一阶零点极点：如果函数)(zf在其孤立奇点0z邻域内的罗朗级数中的主要部分为有限项nnmmmmmnnnzzczzcczzczzczzczzczf)()()()()()()(00100110)1(00则称0z为函数)(zf的m阶极点。上式也可表示为mzzzPzf)()()(0，其中第7页共18页mmmmzzczzczzcczP)()()()(001010)1(对于)(zP，有0)(0zP且为0z邻域内的解析函数(3)本性奇点：函数)(zf在其孤立奇点0z邻域内的罗朗级数中的主要部分有无限项留数概念(Residue)：若点0z是函数)(zf的一个孤立奇点，函数)(zf在环形区域Rzz00内解析，则在此环形区域内，)(zf可展开成罗朗级数nnnnnnnzzczzcczzczzczzczf)()()()()()(0101010100罗朗级数nnnzzczf)()(0的10)(zz项的系数dzzficC)(211叫作函数)(zf在0z点的留数（或残数），记作]),([Re0zzfs。留数定理：设函数)(zf在简单闭合曲线C所围区域E内除有限个孤立奇点nzzz,,21外处处解析，在闭区域E上除nzzz,,21外连续，则有：nkkCzzfsidzzf1]),([Re2)(其中沿曲线C的积分方向为逆时针方向。留数的计算(1)若0z为)(zf的可去奇点，0z为中心的罗朗级数中不含负幂次项，则：0]),([Re0zzfs(2).若点0z为)(zf的一阶极点：)]()[(lim]),([Re0100zfzzczzfszz若函数)(zf可以表示为