图形的相似整章教案

1第四章图形的相似4．1成比例线段教学目标：【知识与技能】结合实际情境了解线段比的概念，并会计算两条线段的比；了解比例线段的概念；理解并掌握比例的基本性质，并能进行简单应用。【过程与方法】经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题．【情感态度】通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系．【教学重点】理解线段的比和比例线段的概念，会求两条线段的比及判断线段是否成比例．【教学难点】掌握比例的基本性质，并能进行简单应用．教学设计：一、自主学习请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系．二、群体议论引入线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比(ratio)AB∶CD＝m∶n，或写成ABCD＝mn，其中AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把mn表示成比值k，那么ABCD＝k，或AB＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB＝5cm，A′B′＝3cm.AB∶A′B′＝5∶3，就是线段AB与线段A′B′的比.这个比值刻画了这两个五边形的大小关系．想一想：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识：两条线段长度的比与所采用的长度单位无关．但要采用同一个长度单位．2做一做：如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD，EH，EF的长度分别是多少？分别计算ABEH，ABEF，ABAD，EHEF值．你发现了什么？四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b＝c/d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．上图中AB，EH，AD，EF是成比例线段，AB，AD，EH，EF也是成比例线段．议一议：如果a，b，c，d四个数成比例，即ab＝cd，那么ad＝bc吗？反过来如果ad＝bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗？比例的基本性质：如果ab＝cd，那么ad＝bc.如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于零)，那么ab＝cd.三、相机引导教材例1：如图，一块矩形绸布的长AB＝am，AD＝1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即AEAD＝ADAB，那么a的值应当是多少？四、拓展延伸请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．五、教学反思：4．2相似多边形教学目标：【知识与技能】了解相似多边形的概念和性质；能根据定义判断两个多边形相似；会用相似多边形的性3质解决简单的几何问题。【过程与方法】理解相似多边形的概念和性质，并能熟练运用．【情感态度】激发学习兴趣，培养想象力，挖掘学生潜力．【教学重点】相似多边形的定义和性质．【教学难点】如何判断两个多边形是否相似．教学设计：一、自主学习如图：四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的图形．请分别求出这两个四边形的对应边的长度，并分别量出这两个四边形各个内角的度数．然后与你的同伴讨论：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？二、群体议论1．相似多边形：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD.相似多边形对应边的比叫做相似比．图中四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比为k＝12.2．观察下面两个图，判断：它们形状相同吗？它们是相似图形吗？这两个五边形是__________________________，即__________________________．3．问题：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？相似多边形的性质：______________________．三、相机引导1．下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？(1)正三角形ABC与正三角形DEF；(2)正方形ABCD与正方形EFGH.解：(1)由于正三角形每个角都等于60°，所以∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝60°，∠C＝∠F＝60°.4由于正三角形三边相等，所以AB∶DE＝BC∶EF＝CA∶FD；(2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A＝∠E＝90°，∠B＝∠F＝90°，∠C＝∠G＝90°，∠D＝∠H＝90°，由于正方形的四边相等，所以AB∶EF＝BC∶FG＝CD∶GH＝DA∶HE.2．两个相似的五边形，一个五边形的各边长分别为1，2，3，4，5，另一个的最大边长为10，则后一个五边形的最短边的长为2.解：两个相似的五边形，最长的边是5，另一个最大边长为10，则相似比是5∶10＝1∶2，根据相似五边形的对应边的比相等，设后一个五边形的最短边的长为x，则1∶x＝1∶2，解得x＝2，即后一个五边形的最短边的长为2.3．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1＝70°，AD＝28.分析：根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得．解：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1＝∠B＝70°，A′D′AD＝D′C′DC.即21AD＝1824＝34，解得AD＝28，∠1＝70°.四、拓展延伸：做一做：一块长3m，宽1.5m的矩形黑板，如图所示，镶在其外围的木制边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？(让学生先判断，分组讨论，再通过计算验证自己的判断)五、教学反思4．3探索三角形相似的条件教学目标：【知识与技能】经历三角形相似的判定定理的探索及证明过程；能应用定理判定两个三角形相似，解决相关问题．【过程与方法】让学生经历观察、试验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．【情感态度】通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造快乐．5【教学重点】三角形相似的判定定理1及应用．【教学难点】三角形相似的判定定理1的证明．教学设计：一、自主学习现有一块三角形玻璃ABC,不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？二、群体议论问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法．1．动手试验：现在，已量出∠A＝60°，∠B＝45°，请同学们当一当工人师傅，在纸片上作∠A＝60°，∠B＝45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系．你有哪些发现？在小组内交流．学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：①这样的两个三角形不一定全等．②两个三角形三个角都对应相等．③通过度量后计算，得到三边对应成比例．④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：两角对应相等，两三角形相似．2．进而让学生画出图形，写出已知、求证．已知：如图△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B.求证：△A′B′C′∽△ABC.证明：在△ABC的AB上截取BD＝B′A′，过D作DE∥AC，交BC于E.∴△ABC∽△DBE，∵∠BDE＝∠A，∠A＝∠A′，∴∠BDE＝∠A′，∵∠B＝∠B′，BD＝B′A′，∴△DBE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.三、相机引导1．求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原来的三角形相似．已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△ACD∽△CBD.证明：略．62．判断题：(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．(√)(2)所有的直角三角形都相似．(×)(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似．(×)(4)顶角相等的两个等腰三角形相似．(√)四、拓展延伸：如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽△EGC∽△EAB.分析：关键在于找“角相等”，除已知条件中已明确给出的条件外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角．本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1＝∠2，所以△AGD∽△EGC.又∠1＝∠3(对顶角)，由AB∥DG可得∠4＝∠G，所以△EGC∽△EAB.6．如图，D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似．并说明线段DE的画法．分析：画相似的三角形主要是作相等的角，所以需要画平行线．如：五、教学反思：4．4利用相似三角形测高教学目标：【知识与技能】让学生会用相似三角形解决实际问题．【过程与方法】能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题．【情感态度】通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．【教学重点】运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．【教学难点】灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．教学设计：7一、自主学习在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家．一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？二、群体议论1．利用阳光下的影子测量旗杆高度．从图中我们可以看出人与人在阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形．即△EFD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据EFAB＝FDBC可得BC＝BA·FDEF，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度．2．利用标杆测量旗杆高度．当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行，过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G，交标杆EF于H，于是得△DHF∽△DGC.因为可以量得AE、AB，观测者身高AD、标杆长EF，且DH＝AE，DG＝AB，由FHGC＝DHDG得GC＝FH·DGDH，∴旗杆高度BC＝GC＋GB＝GC＋AD.[对比]过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF∽△FMC∴由MCFH＝MFDH，可求得MC的长．于是旗杆的长BC＝MC＋MB＝MC＋EF.3．利用镜子的反射测量旗杆高度．这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC，∴△EAD∽△EBC，测出AE、EB与观测者身高AD，可求得BC＝EB·ADAE.三、相机引导，拓展延伸：1．如图，一人拿着一把刻有厘米分划的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．8分析：本题所叙述的内容可以画出如上图那样的几何图形，即DF＝60厘米＝0.6米，GF＝12厘米＝0.12米，CE＝30米，求BC.由于△ADF∽△AEC，DFEC＝AFAC，又△AGF∽△ABC，∴AFAC＝GFBC，∴DFEC＝GFBC，从而可以求出BC的长．解：∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF＝∠AEC，∠DAF＝∠EAC，∴△ADF∽△AEC.∴DFEC＝AFAC.又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∴∠AFG＝∠ACB，∠AGF＝∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴AFAC＝GFBC，∴DFEC＝GFBC.又DF＝60厘米＝0.6米，GF＝12厘米＝0.12米，EC＝30米，∴BC＝6米．即电线杆的高为6米．四、教学反思：4．5相似三角形的性质教学目标：【知识与技能】经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质；利用相似三角形的性质解决